Toán tử Monge - Ampère trong Cn và trên đa tạp Kähler compact

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết

chung với các đồng tác giả. Các kết quả viết chung với các đồng tác giả

đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết

quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong

các công trình khác.

Nghiên cứu sinh

Hoàng Nhật Quy

1

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 4

Bảng thống kê các ký hiệu 6

Mở đầu 8

0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án . . . . . . . . . 12

0.5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài . . . . . . . 13

1 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc(Ω) 15

1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Lớp N (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Lớp Eχ,loc(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc . . . . . . . . . . . 20

2 Tô pô trên không gian δEχ 30

2

3

2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Các lớp Cegrell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Không gian δEχ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Khái niệm dung lượng . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Các kết quả trên không gian δEχ . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 Tô pô trên không gian δEχ . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2 Sự hội tụ trong không gian δEχ . . . . . . . . . 39

2.3.3 Toán tử Monge-Ampère trên không gian δEχ . . 41

2.3.4 Một số chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa

tạp K¨ahler compact 48

3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn . . 54

Kết luận 65

Các công trình được sử dụng trong luận án 67

Tài liệu tham khảo 68

Phụ lục 74

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp. Nhân dịp này, tôi xin được gửi đến Thầy

lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi thực sự cảm thấy vô cùng

may mắn khi được làm việc cùng Thầy và nhận được nhiều sự hướng

dẫn trong quá trình làm nghiên cứu sinh của mình.

Nhân đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. TSKH.

Nguyễn Văn Khuê, GS. TSKH. Lê Mậu Hải và GS. TSKH. Nguyễn

Quang Diệu vì những trao đổi và những lời góp ý vô cùng quý báu của

các Thầy. Đặc biệt GS. TSKH. Nguyễn Văn Khuê đã gợi mở việc so

sánh tô pô xây dựng được trên δEχ trong chương 3 với các tô pô cảm

sinh từ các tô pô được xây dựng bởi các tác giả khác trước đó. Điều

này khiến cho việc nhận thức về tô pô vừa xây dựng được thêm sâu

sắc và các kết quả đạt được ở chương 3 thêm hoàn chỉnh. Tôi cũng

xin cảm ơn các Giảng viên, và các thành viên nhóm seminar Giải tích

phức Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã có những

tranh luận, trao đổi, góp ý rất hữu ích trong quá trình làm nghiên cứu

sinh của tôi tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm. Các kết quả trong luận án

được viết thành ba bài báo cụ thể như sau:

• [1] Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), "Convergence in ca￾4

5

pacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds", Ann.

Polon. Math. 103, 175-187.

• [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Lo￾cal property of the class Eχ,loc", J. Math. Anal. Appl., 402, 440–445.

• [3] Hoàng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δEχ",

Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73.

Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới GS. S. Ko lodziej vì

những trao đổi, góp ý làm hoàn thiện hơn một số kết quả trong luận

án.

Tôi cũng rất biết ơn Phòng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội vì những hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi thực hiện đầy đủ

các thủ tục kịp thời và đúng quy chế trong quá trình làm nghiên cứu

sinh của mình.

Nghiên cứu sinh

Hoàng Nhật Quy

Bảng thống kê các ký hiệu

Ký hiệu Nội dung

PSH−

(Ω) Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω

PSH(X, ω) Tập các hàm tựa đa điều hòa dưới trên đa tạp X

E0 Xem định nghĩa mục 2.2.1

F Xem định nghĩa mục 2.2.1

E Xem định nghĩa mục 2.2.1

χ Xem định nghĩa mục 1.3

Eχ Xem định nghĩa mục 1.1

N (Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.1

δH Xem định nghĩa mục 2.1

Eχ,loc(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2

δEχ Xem định nghĩa mục 2.2.2

h

ϕ

D,Ω Xem định nghĩa mục 1.2.2

6

7

Ký hiệu Nội dung

B(Ω) Xem định nghĩa mục 3.2.5

DMA(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.6

E(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7

Ep(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7

F(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8

Ka

(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8

D(S, a) Xem định nghĩa mục 3.2.9

cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3

capX(E) Xem định nghĩa mục 3.2.2

eχ(u) Xem định nghĩa mục 2.2.2

Mở đầu

0.1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói

riêng đã thu hút được nhiều sự quan tâm và đầu tư nghiên cứu của

các nhà toán học lớn trên thế giới bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ

XX. Sau hơn nửa thế kỷ phát triển, đến nay sự hiểu biết về lớp hàm

đa điều hòa dưới - đối tượng nghiên cứu chính trong lý thuyết đa thế

vị, và các cộng cụ thiết lập được là tương đối sâu sắc và phong phú.

Tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lý

thuyết đa thế vị đã bắt đầu được các giảng viên tập trung nghiên cứu

trong vài thập kỷ trở lại đây. Và đến nay những vấn đề mà các giảng

viên trong bộ môn tập trung nghiên cứu riêng cũng như các vấn đề

được seminar chung đã dần dần tiếp cận được những xu hướng nghiên

cứu mới của các chuyên gia về lý thuyết đa thế vị trên thế giới.

Trong số rất nhiều kết quả đã đạt được về lý thuyết đa thế vị, chúng

tôi quan tâm tới các lớp con các hàm đa điều hòa dưới có năng lượng

Monge - Ampère hữu hạn. Năm 2004, U. Cegrell đã đưa ra nhiều lớp

năng lượng hữu hạn trên miền siêu lồi trong C

n như E0(Ω), E(Ω), F(Ω),

trong đó E(Ω) là lớp con các hàm đa điều hòa dưới lớn nhất mà trên đó

8