Toan logic la gi he thong toan logic

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Toán logic là gì?

Toán logic là một lĩnh vực của toán học khám phá các ứng dụng của logic hình thức

vào toán học. Nó có mối liên hệ chặt chẽ với siêu dữ liệu, nền tảng của toán học và

khoa học máy tính lý thuyết. Các chủ đề thống nhất trong logic toán học bao gồm

nghiên cứu về sức mạnh biểu cảm của các hệ thống chính thức và sức mạnh suy diễn

của các hệ thống chứng minh chính thức. Logic toán học thường được chia thành các lĩnh vực của lý thuyết tập hợp, lý thuyết

mô hình, lý thuyết đệ quy và lý thuyết chứng minh. Những lĩnh vực này chia sẻ kết

quả cơ bản về logic, đặc biệt là logic thứ nhất và tính xác định. Kể từ khi ra đời, toán logic vừa góp phần, vừa được thúc đẩy bởi việc nghiên cứu nền

tảng của toán học. Nghiên cứu này bắt đầu vào cuối thế kỷ 19 với sự phát triển của

các khung tiên đề cho hình học, số học và phân tích. Vào đầu thế kỷ 20 nó được hình

thành bởi David Hilbert ‘s chương trình để chứng minh sự phù hợp của các lý thuyết

căn bản. Kết quả của Kurt Gödel, Gerhard Gentzenvà những người khác đã cung cấp

giải pháp một phần cho chương trình và làm rõ các vấn đề liên quan đến việc chứng

minh tính nhất quán. Làm việc trong lý thuyết tập hợp cho thấy hầu hết tất cả các toán

học thông thường đều có thể được chính thức hóa theo các tập hợp, mặc dù có một số

định lý không thể được chứng minh trong các hệ tiên đề chung cho lý thuyết tập hợp. Công việc đương đại trong các nền tảng của toán học thường tập trung vào việc thiết

lập phần nào của toán học có thể được chính thức hóa trong các hệ thống chính thức

cụ thể (như trong toán học ngược) thay vì cố gắng tìm ra các lý thuyết trong đó tất cả

toán học có thể được phát triển. Hệ thống toán logic

Toán logic liên quan đến các khái niệm toán học được thể hiện bằng cách sử dụng các

hệ thống logic chính thức. Các hệ thống này, mặc dù chúng khác nhau về nhiều chi

tiết, chia sẻ thuộc tính chung là chỉ xem xét các biểu thức trong một ngôn ngữ chính

thức cố định. Các hệ thống logic mệnh đề và logic thứ nhất được nghiên cứu rộng rãi

nhất hiện nay, bởi vì khả năng ứng dụng của chúng vào nền tảng của toán học và vì

các đặc tính lý thuyết chứng minh mong muốn của chúng. Các logic cổ điển mạnh

hơn như logic bậc hai hoặc logic vô định cũng được nghiên cứu, cùng với các logic

phi phân loại như logic trực giác. Logic thứ nhất

Logic thứ nhất là một hệ thống logic chính thức đặc biệt. Cú pháp của nó chỉ liên

quan đến các biểu thức hữu hạn như các công thức được hình thành tốt , trong khi ngữ

nghĩa của nó được đặc trưng bởi sự giới hạn của tất cả các bộ lượng hóa đối với một

miền diễn ngôn cố định. Logic cổ điển khác

Nhiều logic ngoài logic thứ nhất được nghiên cứu. Chúng bao gồm các logic vô hạn, cho phép các công thức cung cấp một lượng thông tin vô hạn và các logic thứ tự cao

hơn, bao gồm một phần của lý thuyết tập hợp trực tiếp trong ngữ nghĩa của chúng. Logic phi phân loại và phương thức

Logic phương thức bao gồm các toán tử phương thức bổ sung, chẳng hạn như toán tử

nói rằng một công thức cụ thể không chỉ đúng mà còn nhất thiết đúng. Mặc dù logic

phương thức không thường được sử dụng để tiên đề toán học, nhưng nó đã được sử