toan hay - Sưu tầm - Trần Truyền Vĩnh - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

1.1. Tính chất 1 : a > b và b > c  a > c

1.2. Tính chất 2: a > b  a + c > b + c

Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với

bất đẳng thức đã cho.

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c  a – c > b

1.3 Tính chất 3:

a b

a c b d

c d

 

    

 

Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý:

KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

1.4 Tính chất 4:

a > b  a.c > b.c nếu c > 0

hoặc a > b  c.c < b.c nếu c < 0

1.5 Tính chất 5:

0

. .

0

a b

a c b d

c d

  

  

  

Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý:

KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

1.6 Tính chất 6:

a > b > 0  an

> bn

(n nguyển dương)

1.7 Tính chất 7:

0

n n a b a b     (n nguyên dương)

2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):

Định lí: Nếu và a 0 b 0 thì .

2

a b a b 

 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:

0

0

x

x

x

 



 

Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R  ta có:

a. |x|  0

b. |x|2

= x2

c. x  |x| và -x  |x|

nếu x  0

nếu x < 0