Toán cao cấp 1: Tài liệu tham khảo / Nguyễn Ngọc Giang

NGÂN HÀNG NHÀ NƯỚC VIỆT NAM

TRƢỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TOÁN CAO CẤP 1

Ngƣời thực hiện: TS. Nguyễn Ngọc Giang

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2022

i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Ma trận MT

Phần tử PT

Ma trận vuông MTV

Ma trận không MTK

Đường chéo chính ĐCC

Ma trận tam giác MTTG

Chuyển vị CV

Ma trận đối xứng MTĐX

Ma trận con MTC

Định thức ĐT

Tổ hợp tuyến tính THTT

Phần bù đại số PBĐS

Ma trận nghịch đảo MTNĐ

Khả nghịch KN

Phép biến đổi sơ cấp PBĐSC

Cửa hàng CH

Công ti CT

Doanh số DS

Đại lí ĐL

Hệ phương trình tuyến tính HPTTT

Phương trình tuyến tính PTTT

Hệ số tự do HSTD

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất HPTTTTN

Phương pháp PP

Hàm cung HCUNG

Hàm cầu HCAU

Cân bằng CB

Thị trường TT

Sản phẩm SP

Thu nhập quốc dân TNQD

Thu nhập TN

Chi tiêu CTIEU

Mô hình MH

Kinh tế KT

Ma trận hệ số kĩ thuật MTHSKT

Hệ phương trình HPT

Không gian vectơ KGV

Phép cộng PC

Phép nhân PN

Độc lập tuyến tính ĐLTT

Phụ thuộc tuyến tính PTTT

ii

Tích vô hướng TVH

Sản xuất SX

iii

MỤC LỤC

CHƢƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ỨNG DỤNG TRONG KINH

TẾ.......................................................................................................................1

1.1. Ma trận.........................................................................................................1

1.2. Định thức và cách tính định thức ..................................................................8

1.3. Ma trận nghịch đảo .....................................................................................10

1.4. Hạng của ma trận........................................................................................11

1.5. Giải phương trình ma trận...........................................................................12

1.6. Ứng dụng của ma trận và định thức trong KT.............................................12

1.7. Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán ma trận và định thức 26

CHƢƠNG II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH....................................54

2.1. Hệ phương trình tuyến tính viết dưới dạng tổng quát ..................................54

2.2. Điều kiện tồn tại nghiệm.............................................................................55

2.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính..................................55

2.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất........................................................56

2.5. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trong kinh tế .............57

2.6. Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán hệ phương trình

tuyến tính ..........................................................................................................82

CHƢƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ...........................................................92

3.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản .........................................................92

3.2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.....................93

3.3. Không gian vectơ Euclide...........................................................................94

3.4. Ứng dụng của không gian vectơ trong kinh tế.............................................94

3.5. Ứng dụng phần mềm toán học trong giải các bài toán về không gian vectơ.96

iv

LỜI GIỚI THIỆU

Trường Đại học Ngân hàng hiện đang đổi mới cách dạy môn Toán cao

cấp từ tập trung lí thuyết sang ứng dụng toán cao cấp vào các bài toán KT cũng

như ứng dụng Công nghệ thông tin trong môn Toán cao cấp. Chính vì thế việc

biên soạn một cuốn tài liệu tham khảo nhằm đáp ứng nhu cầu đổi mới này là rất

cần thiết.

Môn Toán cao cấp 1 là môn quan trọng bắt buộc trong chương trình đào

tạo ở Trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu tham khảo

của chúng tôi biên soạn phù hợp với đề cương môn học Toán cao cấp 1 do

Trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh biên soạn. Tài liệu chắt

lọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước và viết mới nhiều nội dung.

Mục đích của tài liệu tham khảo là trang bị cho sinh viên kiến thức toán

ứng dụng trong KT cũng như cách sử dụng phần mềm Maple trong giải toán

cao cấp 1. Tài liệu tham khảo là tư liệu chuyên sâu về Toán cao cấp 1 giúp sinh

viên Trường Đại học Ngân hàng học tập tốt hơn.

Vì tài liệu tham khảo biên soạn vừa chạm cả chiều rộng lẫn chiều sâu

của kiến thức, PP nên không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự

góp ý của các đồng nghiệp, bạn đọc để chúng tôi chỉnh sửa, hoàn thiện tài liệu

tham khảo này.

v

LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu tham khảo Toán cao cấp 1 do chúng tôi biên soạn có một số nét

mới so với các tài liệu tham khảo trước đây. Đó là chúng tôi mạnh dạn đưa vào

ứng dụng của phần mềm Maple lẫn ứng dụng toán cao cấp 1 trong KT. Sinh

viên Trường Đại học Ngân hàng trước đây thường gặp lúng túng trong việc tìm

ứng dụng của Toán cao cấp 1 trong KT, cũng như khi giải toán xong rồi thì

không biết lời giải của mình có đúng hay không? Việc hỏi bạn bè hay giảng

viên trong thực tế còn nhiều khó khăn. Chính vì những lí do đó, tài liệu tham

khảo toán cao cấp 1 giúp học sinh thực hành giải toán, giúp học sinh có công cụ

kiểm chứng lời giải bài toán, cũng như sinh viên nhận thấy sự hữu ích của toán

cao cấp 1 trong KT. Sinh viên sẽ không còn thắc mắc hỏi kiến thức này ứng

dụng vào thực tế như thế nào? Sinh viên sẽ hứng thú học với toán cao cấp 1

hơn so với trước đây.

Về PP, cuốn sách kết hợp giữa các PP giải toán thuần túy lẫn giải toán

bằng phần mềm Maple.

Về nội dung, chúng tôi thiết kết ba chương. Chi tiết từng chương cụ thể

như sau:

Chương 1. Ma trận và định thức ứng dụng trong kinh tế

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng trong kinh tế

Chương 3. Không gian vectơ

n

Tài liệu tham khảo được biên soạn lần đầu nên khó tránh khỏi sai sót.

Chính vì thế chúng tôi mong được nhận sự góp ý chân thành từ quý bạn đọc,

đồng nghiệp để chúng tôi hoàn thiện cuốn tài liệu tham khảo được tốt nhất.

1

CHƢƠNG 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ỨNG DỤNG

TRONG KINH TẾ

1.1. Ma trận

1.1.1. Các khái niệm cơ bản

1.1.1.1. Định nghĩa 1

MT là mảng (bảng) các PT của hình chữ nhật được sắp thành các hàng

ngang và các cột dọc.

Ví dụ các mảng có các PT sau đây là MT

1 2

3 4 ;

5 6

 

 

  

   

L

2

3 .

4

  

 



 

   

N

Trong trường hợp tổng quát, MT là mảng các PT hình chữ nhật gồm

m

hàng ngang và

n

cột dọc hay còn được gọi là MT cấp

m n 

được biểu diễn

như sau

A

=

ik a

là PT của MT

A

nằm ở giao điểm của hàng

i

cột

k.

Trong kí hiệu biểu diễn MT, ta thường dùng dấu

 ,

hay dấu

 .

MT có các PT có thể là số thực hay số phức. Trong tài liệu tham khảo

này, ta chỉ sử dụng MT có các PT là số thực.

Để biểu diễn

A

là MT cấp

m n 

với PT nằm ở hàng

i

cột

k

là

,

ik a

thì

ta có thể viết dưới dạng

[ ] . A a  ik m n 

- MT gọi là MTV nếu nó có cùng số hàng và số cột

( ) m n 

. Trong

trường hợp tổng quát, MTV có dạng

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

2

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

.

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

 

 

 

 

 

 

   

- MT có tất cả các PT bằng

0

gọi là MTK. Kí hiệu là

.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 .

0 0 0 0



 

 

 

  

 

 

   

- Người ta kí hiệu

M

m n

là tập hợp tất cả các MT cấp

m n  .

- Người ta kí hiệu

M

n

là tập hợp tất cả các MTV cấp

n.

1.1.1.2. Ví dụ 1

Cho

1 21 5

.

2 40 6

A

  

     A

là MT có cấp với

11 12 13 21 22 23 a a a a a a        1, 21, 5, 2, 40, 6.

1.1.1.3. Định nghĩa 2

Cho MT

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

.

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

 

 

 

 

 

 

   

i)

Các PT

11 22 33 , , , ...,

nn

a a a a

lập thành ĐCC, các PT

1 ( 1) 2 1 , , ...,

n n n

a a a 

lập thành đường chéo phụ.

ii)

MT

2 3

3

11

22

11 22 33

0 0 0

0 0 0

( , , ..., ) 0 0 0 .

0 0 0

nn

nn

a

a

diag a a a a

a

 

 

 

  

 

 

   

gọi là MT chéo.

iii) MT

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 .

0 0 0 1

n

I

 

 

 

  

 

 

   

gọi là MT đơn vị.

iv) MTV có tất cả PT nằm dưới (tương ứng phía trên) ĐCC đều bằng 0

được gọi là MTTG trên (dưới);

v) MTV có tất cả các cặp PT đối xứng nhau qua ĐCC bằng nhau được

gọi là MTĐX.

Ví dụ 2

1 0 0

1 0

, 0 3 0

0 2

0 0 5

A B

     

            

là các MT chéo.

, là các MT đơn vị.

1 3 2

0 5 1

0 0 7

C

 

 



 

    

là MTTG trên,

300

4 2 0

5 0 1

D

 

 

   

   

là MTTG dưới.

1 2 3

2 3

, 2 7 4

3 5

346

E F

     

    

          

là các MTĐX.

Định nghĩa 3

2

1 0

0 1

I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

4

Hai MT

A

và

B

gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các PT

cùng vị trí bằng nhau, tức là

) [ ] , [ ] ;    A a B b ij m n ij m n   )

ij ij   a b

với mọi

i

và mọi

j.

Khi

A

bằng

B

ta viết

A B 

.

Ví dụ 3

1 52

41 43

   

         

a b

c d

có nghĩa là

a b c d      1, 53, 41, 43.

1.1.2. Các phép toán trên ma trận [5]

Định nghĩa 4

Tổng hai MT cùng cấp là một MT thu được bằng cách cộng các PT

tương ứng lại với nhau của hai MT gốc ban đầu ; nghĩa là nếu cả hai MT

 [ ] A aij

và

[ ] B b 

ij

có cùng cấp

m n  ,

thì

[ ] ( 1, 2, 3, ..., ; 1, 2, ..., ). A B a b i m j n      ij ij

Không có PC cho hai MT

khác cấp.

Ví dụ 4

1 20 1 4 1 1 20 4 2 24

.

2 1 5 1 2 5 1 1 3 2

         

                      

Nhận xét 1

Nếu tất cả các MT

A B,

và

C

có cùng cấp, thì

a)

PC các MT có tính chất giao hoán, nghĩa là

A B B A    ,

b)

PC có tính kết hợp, nghĩa là

A B C A B C      ( ) ( ) . c)

Ta định nghĩa MT



là MT có tất cả các PT chỉ là số

0.

Thế thì

A A    .