Toán bồi dưỡng HSG theo chuyên đề Lớp 9

Toán bồi dưỡng HSG theo chuyên đề - Lớp 9

Chuyên đề 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN

/I/ Lý thuyết:

A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ o ):

Ta nói rằng a chia hết cho b kí hiệu a b khi và chỉ khi tồn tại một số k ( k ∈ Z )sao cho a =bk

a b ⇔ a = bk

Ta còn nói a là bội của b hay b là ước của a

B/Tính chất của quan hệ chia hêt :

1/phản xạ: ∀ a∈ N và a ≠ o thì a a

2/ Phản xứng : ∀ a ∈ N và a ≠ O thì a a

3/ Bắt cầu : Nếu a  b và b a thì a =b

C/ Một số định lý

1/ a m ⇒ ka  m

2/ a m và b  m ⇒ ( a ± b )  m

3/ (a ± b)  m và a  m ⇒ b  m

4/ a  m và b n ⇒ ab  m n

5/ a  m ⇒ a n  m n

n ∈ N , n ≠ o

6/ a n  mn ⇒ a  m

7/ a n  m ; m là số nguyên tố ⇒ a  m ( n ∈ N ; n ≠ o)

8/ a  m ⇒ a n  m ; n∈ N , n ≠ o

9/ ab m và (a, m)=1 ⇒ b  m

10/ ab  m và m∈ P ⇒ a  m hoặc b  m

11/ a  m và a  n và ( m,n ) =1 ⇒ a  m.n

12/ a  m , a  n , a  r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 ⇒ a  m.n.r

13/ Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích .2.3...n

D/ Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Chứng minh :

a/ n 4

- n 2  12 ∀ n ∈ N

b/ n (n + 2 ).( 25n 2 + 1)  24 ∀ n ∈ N

GIẢI

a/ n 4

- n 2

= ( n – 1).n.n(n+1)

Nhận xét : 12 = 3.4 và (3,4) =1

-Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2

( n- 1).n 2

n(n+ 1)  2

⇒ n 4

- n 2

 4 ( 1 )

Trong tích 3 số tự nhiên liên tiếp có một số là bội của 3

( n – 1).n.(n + 1)  3 (2 )

Từ (1) và (2) suy ra n 4

- n 2  12 ∀ n∈ N

b/ n.(n+2).[(n 2

-1)+ 24n 2

] = n.(n+2).(n 2

-1) +24n 2

.n.(n+2)

Ta có 24n 2

.n.(n+2)  24 ∀ n ∈ N

Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n 2

-1)  24 ∀ n ∈N

A= (n-1).n.(n+1).(n+2)

Ta có A 3 ∀ n∈ N

-Trong tích 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số là bội của 2 ,một số là bội của 4

-Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8

-Mà (3,8)= 1 nên A  24

-Do đó n.(n+2).(25n 2

-1)  24 ∀ n ∈ N

-Nhận xét : Gọi A( n) là biểu thức phụ thuộc vào n ( n∈ N hoặc n∈ Z ).

Toán bồi dưỡng HSG theo chuyên đề - Lớp 9

_ Để chứng minh một biểu thức A( n) chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức

A ( n) thành nhân tử trong đó có một thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số

đôi một

nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A( n) chia hết cho tất cả các số đó .Nên lưu ý định lý trong

k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội sốcủa k.

-Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh :

1/ n 3

- 13n  6 2/ n 3

(n 2

- 7) 2

- 36  5040 ∀ n ∈ N*

3/n 4

-4n 3

- 4n 2

+ 16n 384 với mọi n chẳn và n≥ 4

4/ n 3 +3n 2 + 2n  6 5/ ( n 2

+n -1 ) 2

-1  2 4

6/ n 3

+6n 2

+8n  48 với mọi n chẳn

7/ n 4

-10n 2

+ 9  384 với mọi n lẻ

8/ n 6

+ n 4

- 2n 2  72 ∀ n ∈ Z

9/ n 4

+6n 3

+11n 2

+6n  24 ∀ n∈ N

Ví dụ 2: Chứng minh a 5

- a  5 ∀ a ∈ Z

Cách 1: A = a 5

- a = a.(a 2

-1).(a 2 +1)

- Nếu a= 5k ( k ∈Z) thì a 5

- a  5

- Nếu a = 5k ± 1 thì a 2

- 1  5

- Nếu a = 5k ± 2 thì a 2

+1  5

Trong trường hợp nào cũng có một thừa số chia hết cho 5

Nhận xét : Khi chứng minh A(n)  m ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho

m

Cách 2: a 5

-a =a(a 2

-1).(a 2 +1)

=a.(a 2

-1).(a 2

-4+5)

=a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a 2

-1)

Vậy A chia hết cho 5

Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh :

1/ a 7

-a  7

2/ Cho n  2 và (n,6) =1 chứng minh n 2

-1  24

3/ Cho n lẻ và ( n ,3) =1 chứnh minh : n 4

-1  48

4/ Cho n lẻ và ( n ,5) =1 chứnh minh : n 4

-1  80

5/ Cho a,b là số tự nhiên a  b chớng minh

a/ A= a.b ( a 4

- b 4

)  30

b/ A= a 2

.b 2

( a 4

- b 4

)  60

6/Cho n chẳn chứng tỏ 2 số n 2

- 4n và n 2

+ 4n đều chia hết cho 16

7/ Chứng tỏ : n 5

- n  30 ∀ n ∈ N và : n 5

- n  240 ∀ n lẻ

8/ Chứng minh :

a/ n8

- n 4

 240 ∀ n ∈ N

b/ n 5

- n 3

+4n  120 ∀ n ∈ N