Tính một vài tổng và tích vô hạn.

Luận văn tốt nghiệp

Trang 1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN

*****

Hoàng Thị Quân

TÍNH MỘT VÀI TỔNG VÀ TÍCH VÔ HẠN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Đà Nẵng, 04/2015

Người hướng dẫn :

Th.S Nguyễn Hoàng Thành

Luận văn tốt nghiệp

Trang 2

MỤC LỤC

Lời nói đầu…………………………………………………………… 3

1 Một vài kiến thức chuẩn bị……………………………………….. 4

1.1 Chuỗi số…………………………………………………….. 4

1.2 Dãy hàm, chuỗi hàm, sự hội tụ đều………………………... 7

1.3 Chuỗi lũy thừa……………………………………………... 11

1.4 Chuỗi Fuorier……………………………………………… 16

2 Một vài tổng và tích vô hạn……………………………………….. 24

2.1 Một vài tổng tính thông qua chuỗi lũy thừa……………...... 24

2.2 Một vài tổng tính thông qua chuỗi Fourier………………… 43

2.3 Một vài tổng vô hạn khác………………………………….. 55

2.4 Một vài tích vô hạn………………………………………… 80

Kết luận ………………………………………………………………. 87

Tài liệu tham khảo ……………………………………………………88

Luận văn tốt nghiệp

Trang 3

LỜI NÓI ĐẦU

Chuỗi hàm xuất hiện từ rất sớm. Ngay từ thế kỷ thứ 14, nhà toán học Ấn

Độ – Madhava (1350 – 1425) ở vùng Sangamagramma (bang Kerala, miền Tây –

Nam của Ấn Độ) đã biết cách biểu diễn một số hàm lượng giác thành các chuỗi

vô hạn và đánh giá sai số sinh ra khi “cắt đuôi” của chuỗi. Vào khoảng thế kỉ

XVII, chuỗi hàm được rất nhiều nhà toán học và các nhà nghiên cứu toán ứng

dụng quan tâm, đã để lại những thành tựu to lớn như một khối lượng kiến thức

đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo và có khá nhiều tên tuổi trong lĩnh

vực này như : Newton, Leibniz, Cauchy, Abel, Euler, Fourier, …Trong đó, phải

đặc biệt nói đến chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier là các chuỗi hàm có ứng dụng

trực tiếp trong vật lý toán và trong nhiều ngành kỹ thuật.

Trong giải tích toán học, việc tính tổng của một số chuỗi số rất khó, nếu

dùng cách tính trực tiếp thì sẽ rất khó khăn phức tạp, có khi không thể tính được

nhưng nếu sử dụng chuỗi lũy thừa, khai triển chuỗi Fourier để tính thì công việc

tính sẽ dễ dàng hơn. Đề tài này nghiên cứu “ Tính một vài tổng và tích vô hạn”.

Khóa luận gồm 2 chương :

1. Chương 1 : Một vài kiến thức chuẩn bị.

2. Chương 2 : Một vài tổng và tích vô hạn.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S Nguyễn Hoàng

Thành đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em trong suốt quá trình

thực hiện đề tài của mình và giúp em thu được rất nhiều kiến thức bổ ích trong

quá trình hoàn thành luận văn này.

Đà Nẵng, ngày 10 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Hoàng Thị Quân

Luận văn tốt nghiệp

Trang 4

CHƢƠNG 1

MỘT VÀI KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 CHUỖI SỐ

1.1.1 Định nghĩa chuỗi số

Định nghĩa 1.1

Cho dãy số a1,a2,…an,…

Lập dãy số mới A1=a1

A2 = a1 + a2

…..

An = a1 + a2+…+ an = ∑

.

Ký hiệu hình thức: ∑

∑

và gọi

∑

là một chuỗi số.

Nếu dãy {

} hội tụ và = A thì ta nói chuỗi số ∑

hội tụ

và có tổng bằng A và viết ∑

= A.

Nếu dãy {

} không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số ∑

phân

kỳ. Ta gọi an là số hạng của chuỗi số thì An = ∑

là tổng riêng thứ n còn

dãy {

} là dãy tổng riêng của chuỗi số.

Định nghĩa 1.2 ( Chuỗi số dƣơng )

Cho chuỗi ∑

(1.2). Nếu mọi số hạng an đều dương thì ta gọi chuỗi

(1.2) là chuỗi số dương.

1.1.2 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ

Cho chuỗi ∑

(1.1). Xét dãy tổng riêng An = ∑

. Theo nguyên lý

Cauchy để chuỗi (1.1) hội tụ điều kiện cần và đủ là với mọi cho trước.

Tồn tại

( và n0

sao cho với mọi và

với mọi | | < . Điều này có nghĩa là

| |< . Vậy ta có định lý :

Luận văn tốt nghiệp

Trang 5

Định lý 1.1

Điều kiện cần và đủ để chuỗi ∑

hội tụ là với mọi tồn tại

( sao cho với mọi và với mọi p

ta đều có

| |< . Từ định lý này ta suy ra chuỗi ∑

phân kỳ

khi và chỉ khi tồn tại một số để với mọi n

tồn tại một số p0 nguyên

dương sao cho | |

.

1.1.3 Các dấu hiệu hội tụ

Định lý 1.2 ( Dấu hiệu Cauchy )

Cho chuỗi số dương ∑

, giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn

√

= c , khi đó:

i) Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Chứng minh:

i) Giả sử √

= c < 1 , chọn q cố định c < q < 1 khi đó tồn tại một

số tự nhiên n0 sao cho với mọi

thì √

< q hay an < q

n , vì n < q < 1 nên

chuỗi ∑

hội tụ và theo dấu hiệu so sánh chuỗi ∑

cũng hội tụ.

ii) Giả sử √

= c > 1 chọn q cố định 1 < q < c, khi đó tồn tại một

số tự nhiên n0 sao cho với mọi

thì √

> q hay an > q

n

từ đó suy ra tính

phân kỳ của chuỗi ∑

.

Định lý 1.3 ( Dấu hiệu D’Alembert )

Cho chuỗi số dương ∑

. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn

= d , khi đó :

i) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.

Chứng minh:

i) Giả sử

= d < 1 ta chọn một số q cố định sao cho 0 < d < q <

1. Khi đó tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi

thì

< q.

Luận văn tốt nghiệp

Trang 6

Cho n lần lượt lấy các giá trị n0, n0 + 1, n0 + 2, …, n0 + m sau đó nhân vế

với các bất đẳng thức nhận được ta có

< với mọi m > 1

Do 0 < q < 1 chuỗi ∑

hội tụ và áp dụng định lý so sánh ta suy ra

chuỗi ∑

hội tụ.

ii) Giả sử

= d > 1 chọn q cố định d > q > 1, bằng lý luận tương

tự tốn tại một số tự nhiên n0 sao cho với mọi

an+m >

q

m

nên chuỗi

∑

phân kỳ.

Định nghĩa 1.3 ( Chuỗi đan dấu )

Một chuỗi số có dạng ∑

trong đó các số an cùng dấu được

gọi là chuỗi đan dấu. Để đơn giản ta luôn luôn xem an > 0 với mọi n.

Định lý 1.4 ( dấu hiệu Leibniz )

Nếu dãy số {

} là dãy đơn điệu giảm và = 0 thì chuỗi

∑

hội tụ.

Chứng minh:

Xét = ∑

an = (

) + (

) +…( )

Vì {

} là dãy đơn điệu giảm nên tất cả các hiệu trong ngoặc đều không

âm, do đó A2m 0 và = +

Với lưu ý rằng đại lượng trong dấu ngoặc dương thì ta có:

< a1với mọi m = 1, 2, …

Như vậy { } m = 1, 2, … là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi a1 nên

sẽ tồn tại giới hạn :

= A

Còn với n lẻ : n = 2m + 1, thì :

= +

Vì = 0 nên tồn tại giới hạn :

= + = A

Cuối cùng vì có hai dãy { } và {

} đều có cùng giới hạn là A khi

m + nên dãy {

} = 1, 2, … cũng có giới hạn A khi n + .

Thật vậy : vì = A và = A

Luận văn tốt nghiệp

Trang 7

Nên với mọi tồn tại N1 = N1( : với mọi = 2m > N1 :

| |<

Tồn tại N2 = N2( : với mọi = 2m > N2 : | | <

Do đó, tồn tại N = max ( N1, N2). Khi đó:

Với mọi N thì ( hoặc n chẵn, hoặc n lẻ ) ta có : | | < .

Vậy = A. Đó là điều phải chứng minh.

1.2 DÃY HÀM, CHUỖI HÀM, SỰ HỘI TỤ ĐỀU

1.2.1 Dãy hàm hội tụ, hội tụ đều

Định nghĩa 1.4

Dãy hàm { } gọi là hội tụ trên miền D đến hàm f(x), nếu chúng cùng

xác định trên miền D và với mỗi x D, với mỗi > 0 tùy ý, đều với mọi

n0 = no( , x) để với với mọi n > n0 là có |

|< . Tức là với với mọi

C đều có

= < .

VD 1.1

=x

n

, D = [0;1) , n N

*

.

Xét x D tùy ý là có :

=

= 0

dãy hàm { } hội tụ đến hàm

F(x) = 0, với mọi x D.

Định nghĩa 1.5

Dãy hàm { } gọi là hội tụ đều trên miền D đến hàm f(x), kí hiệu là

{ } f(x) , nếu chúng cùng xác định trên D và với mỗi > 0, đều tồn tại

n0 = n0( ) để với mọi n > n0 và với mọi x D đều có |

| < .

VD 1.2

= x

n , D = [ ], n N

*

.

Xét > 0 tùy ý, lấy n0 = n0( ) = log2(

) là có |

| = |

| (1/2)n

<

với mọi n > n0 và với mọi x D.

Nhận xét

* Giới hạn đã khó, hội tụ và hội tụ đều khó hơn nhiều.

Luận văn tốt nghiệp

Trang 8

* Dãy hàm {

} hội tụ bình thường đến f(x) trên miền D là nó hội tụ tại

từng điểm x0 đang xét của D. Nghĩa là khi n dần ra vô hạn, thì fn(x0) dần đến

f(x0), còn tại các điểm khác thì fn(x) chưa chắc dần đến f(x).

* Dãy hàm {

} f(x) trên D là khi n dấn ra vô hạn, thì tại mọi điểm

x D đều phải có fn(x) dần đến f(x).

* Đồ thị của dãy hàm {

} f(x) trên D, thì với mọi n đủ lớn ta có đồ

thị các hàm y =

đều xấp xỉ với đồ thị hàm y = f(x) tại với mọi x D.

Những đồ thị đó nằm giữa hai đồ thị của 2 hàm y = f(x) và y = f(x) + trong

miền D.

* Có dãy hàm hội tụ tại từng điểm, như ví dụ đầu

= x

n

, D = [ 0 , 1 )

mà không hội tụ đều trên D, bởi vì nếu hội tụ đều thì phải thỏa mãn: với mọi

> 0, đều tồn tại n0 = n0( ) để |

| = |

|< là đúng với với mọi

n > n0 và với mọi x D. Lấy giới hạn trái cho x dần đến 1-

có 1 , đây là điều

vô lý khi mà xét 0 < < 1. Do đó không hội tụ đều. Đồ thị không nằm giữa 2

đường y = trong miền D = [ 0, 1 ) khi đủ lớn.

1.2.2 Các tính chất cơ bản của dãy hàm hội tụ đều

Tính chất 1.1

Dãy hàm {

} f(x) trên miền D

|

| = 0

Chứng minh:

|

| = 0

Với mọi > 0, tồn tại n0( ) mà với mọi n > n0 là bất đẳng thức

|

| .

Với mọi > 0, tồn tại n0( ) mà với mọi n > n0 và với mọi x D ta đều

có : |

| .

Tính chất 1.2

Dãy hàm { } f(x) trên D mà là hàm bị chặn trên miền D, thì

dãy hàm {

} f(x) trên D.

Chứng minh: