Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
CHƯƠNG 6: TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH
PHÂN XÁC ĐỊNH
§1. ĐẠO HÀM ROMBERG
Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suy
để xác định đạo hàm với một độ chính xác cao. Ta xét khai triển Taylor của
hàm f(x) tại (x + h) và (x - h):
+ = + ′ + ′′ + ′′′ + f (x) + ⋅⋅⋅
4!
h
f (x)
3!
h
f (x)
2
h
f(x h) f(x) hf (x)
(4)
2 3 4
(1)
− = − ′ + ′′ − ′′′ + f (x) − ⋅⋅⋅
4!
h
f (x)
3!
h
f (x)
2
h
f(x h) f(x) hf (x)
(4)
2 3 4
(2)
Trừ (1) cho (2) ta có:
+ − − = ′ + ′′′ + f (x) + ⋅⋅⋅
5!
2h
f (x)
3!
2h
f(x h) f(x h) 2hf (x)
(5)
3 5
(3)
Như vậy rút ra:
− ′′′ − − ⋅⋅⋅
+ − −
′ = f (x)
5!
h
f (x)
3!
h
2h
f(x h) f(x h)
f (x)
(5)
2 4
(4)
hay ta có thể viết lại:
′ = [ + − − ] + + + + ⋅⋅⋅
6
6
4
4
2
f(x h) f(x h) a2h a h a h
2h
1
f (x) (5)
trong đó các hệ số ai phụ thuộc f và x.
Ta đặt:
[f(x h) f(x h)]
2h
1
ϕ(h) = + − − (6)
Như vậy từ (5) và (6) ta có:
= ϕ = ′ − − − −⋅⋅⋅
6
6
4
4
2 D(1,1) (h) f (x) a2h a h a h (7)
= ′ − − − − ⋅⋅⋅
= ϕ
64
h
a
16
h
a
4
h
f (x) a
2
h
D(2,1)
6
6
4
4
2
2 (8)
và tổng quát với hi
= h/2i-1 ta có :
= ϕ = ′ − − − − ⋅⋅⋅
6
6 i
4
4 i
2 D(i,1) (hi
) f (x) a2hi a h a h (9)
Ta tạo ra sai phân D(1,1) - 4D(2,1) và có:
= − ′ − − − ⋅⋅⋅
ϕ − ϕ
6
6
4
4 a h
16
15
a h
4
3
3f (x)
2
h
(h) 4 (10)
Chia hai vế của (10) cho -3 ta nhận được:
= ′ + + +⋅⋅⋅
−
=
6
6
4
4 a h
16
5
a h
4
1
f (x)
4
4D(2,1) D(1,1)
D(2,2) (11)
Trong khi D(1, 1) và D(2, 1) sai khác f′(x) phụ thuộc vào h2
thì D(2, 2) sai khác
f′(x) phụ thuộc vào h4
. Bây giờ ta lại chia đôi bước h và nhận được:
160