Tính chất chính quy và nửa chính quy trên các đồng cấu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HÀ THỊ THU SƯƠNG

TÍNH CHẤT CHÍNH QUY VÀ NỬA CHÍNH QUY

TRÊN CÁC ĐỒNG CẤU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 14 tháng 12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Một vài năm gần đây, một số tác giả trong và ngoài

nước đã quan tâm nghiên cứu các cấu trúc của HomR(M, N)

như căn, môđun con suy biến, môđun con đối suy biến,

và (nửa) chính quy tương tự như căn của vành và môđun.

Những kiến thức này đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi

Beidar và Kasch [4], Kasch-Mader [7], Lee-Zhou [9], Nicholson￾Zhou [13] và Quynh-Kosan-Thuyet [15]. Để tiếp tục nghiên

cứu và mở rộng vấn đề này, tôi chọn nghiên cứu đề tài: "Tính

chất chính quy và nửa chính quy trên các đồng cấu."

Trong nội dung đề tài trước hết chúng tôi làm rõ các

đặc tính về chính quy và nửa chính quy trên các đồng cấu

đồng thời tiếp tục nghiên cứu các cấu trúc như căn, môđun

con suy biến (môđun con đối suy biến), và (nửa) chính quy

của HomR(M, N). Đề tài chia làm ba chương cùng với mở

đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu và tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản sử dụng trong

luận văn như: môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu,

môđun nội xạ và xạ ảnh... và các kết quả liên quan

trong đề tài.

Chương 2 trình bày định nghĩa cũng như các tính chất về

chính quy, nửa chính quy và tổng quan một số đặc

trưng về chính quy của [M, N].

Chương 3 trình bày mối quan hệ giữa các cấu trúc của

Hom(M, N) như căn, môđun con suy biến, môđun con

đối suy biến với điều kiện (nửa) chính quy và tổng quan

một số kết quả đã được các tác giả trong và ngoài nước

nghiên cứu.

2

2. Mục đích nghiên cứu

- Tổng quan các tính chất về chính quy và nửa chính

quy của các đồng cấu.

- Nghiên cứu các cấu trúc của HomR(M, N).

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu về môđun, nửa

chính quy và chính quy, căn...

- Phạm vi: Nghiên cứu các tính chất (nửa) chính quy,

các cấu trúc của HomR(M, N).

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn,

các bài báo, giáo trình... Đồng thời tham gia trao đổi với

giáo viên hướng dẫn và các bạn học viên.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về

tính chất của các đồng cấu (nửa) chính quy cũng như các

cấu trúc của HomR(M, N).

- Làm tài liệu cho các nghiên cứu khoa học về tính

chính quy và nửa chính quy trên các đồng cấu.

6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn có 3 chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Các khái niệm cơ bản

1.2. Một số kết quả đã biết

Chương 2. Tính chính quy và nửa chính quy của các

đồng cấu

2.1. Đồng cấu chính quy

2.2. Đồng cấu nửa chính quy

Chương 3. Cấu trúc của HomR(M, N) với điều kiện

chính quy

3.1. Mối quan hệ giữa căn và môđun con suy biến

(hay môđun con đối suy biến) trong HomR(M, N).

3.2. Đồng cấu I-chính quy.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong đề tài này, vành R đã cho luôn được giả thiết

là vành kết hợp có đơn vị khác không, được kí hiệu là 1 và

mọi môđun trên R là môđun unita.

Với vành R đã cho, ta viết MR(RM) là một R-môđun

phải (tương ứng, trái). Với N là môđun con của M, chúng

tôi viết N ≤ M(N < M) và N ≤⊕ M, có nghĩa là N là

môđun con của M và N là hạng tử trực tiếp của M.

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa 1.1.1. Cho MR và N ≤ M. Khi đó, N được

gọi là hạng tử trực tiếp của M (kí hiệu là N ≤⊕ M) nếu tồn

tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P. Lúc đó ta nói

P là môđun con phụ của N trong M.

Từ định nghĩa ta suy ra: N là hạng tử trực tiếp của M

khi và chỉ khi

∃P ≤ M[M = N + P và N ∩ P = 0].

Định nghĩa 1.1.2. Một môđun con K của M là cốt yếu

(lớn) trong M, kí hiệu là K ≤e M, trong trường hợp với mọi

môđun con L ≤ M,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0.

Đối ngẫu, một môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (nhỏ)

trong M, kí hiệu là K  M, trong trường hợp với mọi

môđun con L ≤ M,

K + L = M suy ra L = M.

4

Định nghĩa 1.1.3. Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt

yếu nếu Im(f) ≤e M.

Toàn cấu g : M −→ N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(f) 

M.

Định nghĩa 1.1.4. Cho UR là một môđun. Nếu MR là một

môđun, thì U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M-xạ ảnh)

trong trường hợp với mọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi

đồng cấu v : UR −→ NR tồn tại một đồng cấu v¯ : U −→ M

sao cho v = gv¯.

Định nghĩa 1.1.5. Cho UR là một môđun. Nếu MR là một

môđun, thì U được gọi là nội xạ theo M (hay U là M-nội

xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→ MR và mỗi

đồng cấu v : KR −→ UR tồn tại một đồng cấu v¯ : M −→ U

sao cho vf¯ = v.

Định nghĩa 1.1.6. Cho PR là một môđun. Lúc đó P được

gọi là xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B −→ C

và mỗi đồng cấu ψ : P −→ C tồn tại một đồng cấu λ : P −→

B sao cho ψ = βλ.

Mệnh đề 1.1.7. Cho P là R-môđun phải. Khi đó các điều

kiện sau là tương đương:

(1) P là xạ ảnh.

(2) Với mỗi toàn cấu ϕ : B −→ P là chẻ ra, nghĩa là

Ker(ϕ) là hạng tử trực tiếp của B.

(3) Mọi toàn cấu β : B −→ C thì ánh xạ

HomR(1P , β) : HomR(P, B) −→ HomR(P, C) là một

toàn cấu.

Định nghĩa 1.1.8. Cho QR là một môđun. Lúc đó Q được

gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR −→

MR, với mọi KR, MR và mỗi đồng cấu v : KR −→ UR tồn

tại một R-đồng cấu v¯ : M −→ U sao cho vf¯ = v.

5

Mệnh đề 1.1.9. Cho Q là R-môđun phải. Khi đó các điều

kiện sau là tương đương:

(1) Q là nội xạ.

(2) Với mỗi đơn cấu ϕ : Q −→ B là chẻ ra, nghĩa là Im(ϕ)

là hạng tử trực tiếp của B.

(3) Mọi đơn cấu α : A −→ B thì ánh xạ

HomR(α, 1Q) : HomR(B, Q) −→ HomR(A, Q) là một

toàn cấu.

Định nghĩa 1.1.10. Cho M là R-môđun phải. Căn của M

được kí hiệu là rad(M) và được xác định như sau:

rad(M) = P

AM

A =

T

B≤M

B =

T

ϕ∈HomR(M,N)

Ker(ϕ),

Khi đó rad(RR) = rad(RR), lúc đó ta thường kí hiệu chung

là J(R). Chúng ta lưu ý:

J(R) = {a ∈ R|1 − ar khả nghịch, ∀r ∈ R}.

Định nghĩa 1.1.11. Phần tử a của vành R được gọi là chính

quy nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

(i) Tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a.

(ii) aR là hạng tử trực tiếp của RR.

(iii) Ra là hạng tử trực tiếp của RR.

Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của R là

chính quy.