Tính bất biến của các môđun và vành liên quan :Báo cáo tổng kết đề tài Nghiên cứu Khoa học cấp trường

BỘ CÔNG THƯƠNG

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Tên đề tài: TÍNH BẤT BIẾN CỦA CÁC MÔĐUN VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Mã số đề tài: 21.2CB01

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thị Thu Hà

Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học Cơ bản

1

LỜI CÁM ƠN

Tập thể tác giả của đề tài “Tính bất biến của các môđun và vành liên quan” xin được

gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí

Minh vì đã hỗ trợ kinh phí cũng như tạo điều kiện để đề tài được hoàn thành. Chúng

tôi cũng xin cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ bản đã giúp đỡ, động viên chúng

tôi trong quá trình thực hiện đề tài. Những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đặc

biệt là của các thành viên Hội đồng đã giúp chúng tôi chỉnh sửa những thiếu sót để đề

tài được hoàn thiện hơn. Lời cảm ơn cuối cùng chúng tôi xin gửi đến Phòng Quản lý

Khoa học của Trường Đại học Công nghiệp đã hướng dẫn chúng tôi trong việc hoàn

thiện các hồ sơ liên quan đến đề tài.

Xin chân thành cảm ơn.

2

PHẦN I. THÔNG TIN CHUNG

I. Thông tin tổng quát

1.1. Tên đề tài: Tính bất biến của các môđun và vành liên quan

1.2. Mã số: 21.2CB01

1.3. Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực hiện đề tài

TT

Họ và tên

(học hàm, học vị)

Đơn vị công tác Vai trò thực hiện đề tài

1 TS. Nguyễn Thị Thu Hà Khoa Khoa học cơ bản,

Trường Đại học Công

nghiệp Thành phố Hồ Chí

Minh

Chủ nhiệm đề tài

2 PGS. TS. Trương Công Quỳnh Khoa Toán, Trường Đại học

Sư phạm-Đại học Đà Nẵng

Thành viên chính

1.4. Đơn vị chủ trì: Khoa Khoa học cơ bản.

1.5. Thời gian thực hiện:

1.5.1. Theo hợp đồng: từ tháng 3 năm 2022 đến tháng 2 năm 2023

1.5.2. Gia hạn (nếu có): đến tháng….. năm…..

1.5.3. Thực hiện thực tế: từ tháng 3 năm 2022 đến tháng 10 năm 2022

1.6. Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có):

(Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết quả nghiên cứu và tổ chức thực hiện; Nguyên nhân;

Ý kiến của Cơ quan quản lý)

1.7. Tổng kinh phí được phê duyệt của đề tài: 60 triệu đồng.

II. Kết quả nghiên cứu

1. Đặt vấn đề:

Như chúng ta được biết, lớp các vành tựa nội xạ và môđun tựa nội xạ đóng vai trò quan trọng

trong việc nghiên cứu lý thuyết vành và môđun. Khái niệm môđun tựa nội xạ được Johnson￾Wong giới thiệu và nghiên cứu năm 1961. Một môđun là tựa nội xạ nếu nó bất biến qua tất

cả các tự đồng cấu của bao nội xạ của nó (xem [8]). Năm 1969, các tác giả Dickson-Fuller đã

chứng minh một môđun không phân tích được trên một K-đại số với K là một trường là tựa

3

nội xạ nếu và chỉ nếu nó bất biến qua tất cả các tự đẳng cấu của bao nội xạ của nó. Xuất phát

từ kết quả này, các tác giả Lee và Zhou đã nghiên cứu lớp môđun bất biến qua tất cả các tự

đẳng cấu của bao nội xạ của nó. Một môđun bất biến qua tất cả các tự đẳng cấu của bao nội

xạ của nó được gọi là môđun bất biến đẳng cấu. Mục tiêu của để tài là tiếp tục nghiên cứu

các tính chất khác của các mở rộng của môđun bất biến đẳng cấu và các đối ngẫu của chúng.

Đồng thời đưa ra đặc trưng của một số lớp vành quan trọng thông qua lớp các môđun này và

tổng quát hóa của chúng.

a) Tình hình nghiên cứu quốc tế

Dựa vào kết quả của Dickson-Fuller các tác giả Lee và Zhou đã nghiên cứu lớp môđun bất

biến đẳng cấu năm 2013. Một số đặc trưng cơ bản nhất của lớp môđun này đã được tìm ra

(xem [9]). Các tính chất này làm nền tảng để nghiên cứu các đặc trưng khác của chúng và

một số lớp vành liên quan. Họ đã chứng minh khẳng định sau: một môđun M là bất biến

đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi đẳng cấu giữa hai môđun con cốt yếu bất kỳ của M đều mở rộng

được đến tự đồng cấu của M. Hơn nữa, mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn điều kiện C3.

Kết quả này làm rõ mối liên hệ giữa môđun bất biến đẳng cấu và lớp các môđun tựa liên tục

và liên tục đã được Jain và Utumi nghiên cứu (xem [13]). Mặt khác, một vành là nửa đơn nếu

và chỉ nếu mọi môđun hữu hạn sinh trên vành đó là bất biến đẳng cấu. Kết quả này mở rộng

một kết quả nổi tiếng của Osofsky cho lớp môđun nội xạ (xem [10]). Ngoài ra, các tác giả

còn chỉ ra được nếu một môđun bất biến đẳng cấu là tổng trực tiếp của hai môđun thì chúng

nội xạ tương hỗ. Kết quả này chỉ ra mối liên hệ của môđun bất biến đẳng cấu và lớp môđun

ADS đã được các tác giả Alamadi, Jain và Leroy nghiên cứu (xem [1]).

Tiếp tục nghiên cứu lớp môđun bất biến đẳng cấu, các tác giả Er, Srivastava và Singh đã

chứng minh lớp môđun bất biến đẳng cấu và lớp môđun giả nội xạ là trùng nhau (xem [4]).

Khái niệm môđun giả nội xạ đã được các tác giả Jain và Singh định nghĩa và nghiên cứu vào

năm 1967 (xem [14]). Kết quả này cho thấy một môđun giả nội xạ nếu và chỉ nếu nó bất biến

qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ. Như vậy, lớp môđun giả nội xạ là một mở rộng tự nhiên

của lớp môđun tựa nội xạ. Đồng thời sử dụng kết quả này và kết quả của D. Q. Hai ta có

khẳng định sau: mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn điều kiện C2 (xem [6]). Khẳng định

này trả lời câu hỏi mở của Lee và Zhou. Hơn thế nữa, các tác giả Er, Srivastava và Singh đã

đưa ra một sự phân tích quan trọng của môđun bất biến đẳng cấu đó là: mọi môđun bất biến

4

đẳng cấu là một tổng trực tiếp của một môđun tựa nội xạ và một môđun vuông - tự do (square￾free). Sử dụng kết quả này, các tác giả đã đưa ra sự phân tích cho lớp vành mà mọi môđun

phải xyclic là bất biến đẳng cấu. Theo đó những vành như vậy là một tổng trực tiếp của một

vành nửa đơn và vành vuông-tự do phải. Năm 2013, các tác giả Guil Asensio và Srivastava

đã chứng minh vành tự đồng cấu của một môđun bất biến đẳng cấu là vành nửa chính quy và

căn Jacobson của vành trùng với iđêan phải suy biến (xem [5]). Kết quả này mở rộng kết quả

của Osofsky cho môđun tựa nội xạ và kết quả tương tự của Utumi cho môđun liên tục. Ngoài

ra, các tác giả cũng chứng minh định lý sau: mọi môđun bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất

biến đổi. Các kết quả này làm nền tảng để nghiên cứu các tính chất khác của vành thông qua

lớp môđun bất biến đẳng cấu.

Một khái niệm đối ngẫu của môđun bất biến đẳng cấu đã được nghiên cứu bởi Singh và

Srivastava năm 2012. Một môđun M được gọi là đối bất biến đẳng cấu nếu bất kỳ các môđun

con đối cốt yếu K1, K2 của M, thì mỗi toàn cấu đối cốt yếu từ M/K1, đến M/K2 đều nâng

được đến tự đồng cấu của M. Một số tính chất cơ bản của lớp môđun này và áp dụng của

chúng đến một số lớp vành đã được nghiên cứu (xem [11]). Các tác giả đã chứng minh kết

quả sau: một môđun M trên một vành hoàn chỉnh phải với phủ xạ ảnh p từ P đến M là đối

bất biến đẳng cấu nếu và chỉ nếu hạt nhân của p là bất biến dưới tất cả các tự đẳng cấu của P.

Với kết quả này, cho phép chúng ta nghiên cứu lớp môđun đối bất biến đẳng cấu một cách dễ

dàng hơn so với khái niệm ban đầu. Ngoài ra, các tác giả cũng khẳng định một V-vành phải

nếu và chỉ nếu mọi môđun phải là đối bất biến đẳng cấu.

Một số công trình của các tác giả nước ngoài liên quan đến đề tài:

1. A. Alahmadi, S. K. Jain, A. Leroy, ADS modules, J. Algebra 352 (2012), 215-222.

2. I. Amin, I. Yasser, M. Yousif, C3-modules, Algebra Colloq. 22 (4) (2015), 655-670.

3. S. E. Dickson, K. R. Fuller, Algebras for which every indecomposable right module is

invariant in its injective envelope, Pacific J. Math. 31 (3) (1969), 655-658.

4. N. Er, S. Singh, A. Srivastava, Rings and modules which are stable under automorphisms

of their injective hulls, J. Algebra 379 (2013), 223-229.

5. P. A. Guil Asensio, A. K. Srivastava, Automorphism-invariant modules satisfy the

exchange property, J. Algebra 388 (2013), 101-106.

6. D. Q. Hai, A note on pseudo-injective modules, Commu. Algebra, 33(2005), 361-369.

5

7. S. K. Jain, S. Singh, Rings with quasi-projective left ideals, Pacific J. Math. 60(1) (1975),

169-181.

8. R. E. Johnson and F.T. Wong, Quasi-injective modules and irreducible rings, J. London

Math. Soc. 36 (1961), 260-268.

9. T. K. Lee, Y. Zhou, Modules which are invariant under automorphisms of their injective

hulls, J. Algebra Appl. 12 (2) (2013), 1250159 (9 pages).

10. B. Osofsky, Rings all of whose finitely generated modules are injective, Pac. J. Math. 14

(1964), 645-650.

11. S. Singh, A. K. Srivastava, Dual automorphism-invariant modules, J. Algebra 371 (2012),

262-275.

12. S. Singh, A. K. Srivastava, Rings of invariant module type and automorphism-invariant

modules, Ring Theory and Its Applications, Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc.

609 (2014), 299-311.

13. Y. Utumi, On continuous rings and self injective rings, Trans. Am. Math. Soc. 118 (1965),

158-173.

14. S. K. Jain and S. Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Can. Math. Bull.

18 (1975), 359-366.

b) Tình hình nghiên cứu trong nước

Năm 2015, tác giả Tùng và các cộng sự của mình tiếp tục nghiên cứu các tính chất của môđun

bất biến đẳng cấu và vành tự đồng cấu của chúng cũng như mối liên hệ giữa các tự đồng cấu

của môđun bất biến đẳng cấu và bao nội xạ của chúng cũng được nghiên cứu. Hơn nữa, các

tác giả cũng đã chỉ ra trong một số trường hợp lớp môđun bất biến đẳng cấu và tựa nội xạ là

trùng nhau. Ngoài ra, mối liên hệ giữa môđun bất biến đẳng cấu và vành Boolean cũng đã

được nghiên cứu (xem [15]).

Như chúng ta được biết, mọi môđun bất biến đẳng cấu là ADS. Một trường hợp tổng quát của

môđun ADS đã được Hải nghiên cứu trong công trình của mình và đã chỉ ra đặc trưng của

vành nửa đơn thông qua tổng quát hóa của môđun ADS. Ngoài ra, tác giả còn chỉ ra một đặc

trưng tương đương Morita của lớp môđun tổng quát hóa này (xem [19]). Các tác giả Er,

Srivastava và Singh đã trả lời câu hỏi mở của Lee và Zhou, mọi môđun bất biến đẳng cấu

thỏa mãn điều kiện C2 và từ đó suy ra môđun bất biến thỏa mãn điều kiện C3. Tiếp tục nghiên

6

cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện C3, Nhân và các cộng sự đã chứng minh được một vành

là nơte phải và V-vành phải nếu và chỉ nếu mọi môđun phải với đế cốt yếu có C3-phủ. Ngoài

ra, một số đặc trưng của vành artin chuỗi thông qua lớp môđun C3 cũng đã được nghiên cứu

(xem [16, 17]).

Một kết quả của các tác giả Lee và Zhou đã khẳng định một môđun tựa nội xạ nếu và chỉ nếu

nó là bất biến đẳng cấu và CS. Hiện nay, một số lớp vành được đặc trưng thông qua lớp

môđun xyclic thỏa mãn điều kiện nội xạ đang được quan tâm nghiên cứu. Năm 2010, các tác

giả Huynh và Tai đã nghiên cứu và chứng minh nếu mỗi R-môđun phải suy biến trên một

vành đơn Goldie phải là CS, thì vành thương R/Soc(R) là một vành nơte phải (xem [21]). Kết

quả này mở rộng kết quả của Huynh, Jain và Lopez cho vành đơn.

Một kết quả khác của Er, Srivastava và Singh đã khẳng định môđun bất biến đẳng cấu và giả

nội xạ là trùng nhau. Một nghiên cứu tổng quát hóa của môđun giả nội xạ và tựa nội xạ đã

được quan tâm trong những năm gần đây. Đặc biệt là các áp dụng của chúng vào một số lớp

vành đã biết. Chẳng hạn, tác giả Sanh và các học trò của ông đã nghiên cứu một trường hợp

tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ chính. Họ đã chứng minh kết quả

sau: trên một vành Kasch phải giả nội xạ chính, thì tồn tại một song ánh giữa lớp của tất cả

các iđêan trái cực tiểu của vành và lớp của tất cả các iđêan phải cực đại của vành (xem [25]).

Mặt khác, nhóm các tác giả Thuyet, Dan, Thoang và Dung đã nghiên cứu các đặc trưng của

các lớp vành tựa Frobenius và vành co-Harada thông qua điều kiện nội xạ và các điều kiện

dây chuyền. Nhóm tác giả này đã chứng minh khẳng định sau: một vành là co-Harada phải

nếu và chỉ nếu vành đã cho thỏa mãn điều kiện dây chuyền trên các iđêan phải cốt yếu và

tổng trực tiếp hai bản sao của vành đã cho là một môđun CS phải. Hơn nữa, một vành là tựa

Frobenius nếu và chỉ nếu vành đã cho là co-Harada phải và căn Jacobson của vành trùng với

iđêan suy biến phải của vành (xem [26, 28]).

Một số công trình của các tác giả trong nước liên quan đến đề tài:

15. A. Alahmadi, A. Facchini, N. K. Tung, Automorphism-invariant modules, Rend. Semin.

Mat. Univ. Padova 133 (2015), 241-259.

16. A. Abyzov, T. N. H. Nhan, T. C. Quynh, Modules close to SSP- and SIP-modules,

Lobachevskii J. Math., 38 (1) (2017), 16-23.

7

17. A. Abyzov, T. C. Quynh, T. N. H. Nhan, SSP rings and modules, Asian-Eur. J.

Math. 9 (1) (2016), 1650022 (9 pp).

18. N. Er, S. López-Permouth, N. K. Tung, Rings whose cyclic modules have restricted

injectivity domains, J. Algebra 466 (2016), 208-228.

19. P. T. Hai, On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii J. Math. 37 (3)

(2016), 323-332.

20. P. T. Hai, On modules and rings satisfy condition C, Asian-Eur. J. Math. 9 (2) (2016),

1650045 (14 pp).

21. D. V. Huynh, D. D. Tai, Cyclic modules over simple Goldie rings, Acta Math.

Vietnam 35 (2) (2010), 329-334.

22. D. V. Huynh, D. D. Tai, A note on V-rings, Southeast Asian Bull. Math. 33 (6) (2009),

1071-1074.

23. D. V. Huynh, S. K. Jain and S. R. Lopez-Permouth, When is a simple ring noetherian?, J.

Algebra 184 (1996), 786-794.

24. T. C. Quynh, P. H. Tin, Modules satisfying extension conditions under monomorphism

of their closed submodules, Asian-Eur. J. Math. 5 (2012), 1250041 (12 pp).

25. B. Samruam, H. D. Hai, N. V. Sanh, On pseudo-P-injectivity, Southeast Asian Bull. of

Math., 35 (1) (2011), 21- 27.

26. B. Samruam, H. D. Hai, N. V. Sanh, A general form of pseudo p-injectivity, Southeast

Asian Bull. of Math., 35 (6) (2011), 927-993.

27. L. D. Thoang, A characterization of co-Harada ring, Asian-Eur. J. Math. 6 (2) (2013),

1350017 (7 pp).

28. L. D. Thoang, A note on generalizations of quasi-Frobenius rings, Asian-Eur. J. Math. 9

(3) (2016), 1650067 (4 pp).

29. L. V. Thuyet, P. Dan, B. D. Dung, On a class of semiperfect rings, J. Algebra

Appl. 12 (6) (2013), 1350009 (13 pp).

Lớp vành mà mọi môđun xyclic là tựa xạ ảnh đã được nghiên cứu bởi tác giả Koehler; và các

vành thỏa mãn điều kiện trên được gọi là q*-vành. Tác giả đã thu được một số đặc trưng và

cấu trúc của q*-vành nửa hoàn chỉnh. Một vành được gọi là a*-vành phải nếu tất cả các

iđêan phải của nó là đối bất biến đẳng cấu. Các lớp vành này được các tác giả Singh and

8

Srivastava đưa ra và chưa được nghiên cứu đầy đủ. Trong phần nghiên cứu này, chúng tôi đã

nghiên cứu mối liên hệ giữa các a-vành và a*-vành và chứng minh được các kết quả sau (xem

[30]):

Một số công trình của chủ nhiệm đề tài và thành viên liên quan đến đề tài:

30. M. T. Kosan, Nguyen Thi Thu Ha, and T. C. Quynh, Rings for which every cyclic

module is dual automorphism-invariant, J. Algebra Appl., 15 (5) (2016) 1650078 (11 pages).

31. T.C. Quynh, A. Abyzov, Nguyen Thi Thu Ha, Y. Tulay, Modules close to the

automorphism invariant and coinvariant, Journal of Algebra and its Application 18 (2019),

1950235.

32. M. T. Kosan, T.C. Quynh and A. K. Srivastava, Rings with each right ideal

automorphism-invariant, J. Pure Appl. Algebra, 220 (4) (2016), 1525-1537.

33. Pedro A. Guil Asensio, T.C. Quynh, Ashish K. Srivastava, Additive unit structure of

endomorphism rings and invariance of modules, Bulletin of Math. Sciences, 7(2) (2017), 229-

246.

34. T.K. Lee, Truong Cong Quynh, The dual Schoder-Berstein Theorem for modules,

Communications in Algebra, 48(9)(2020), 3904-3915

35. M. Tamer Kosan, Truong Cong Quynh, S. Serap, Weakly automorphism invariant

modules and essential tightness, Commu. Algebra, 45(8) (2017), 3531-3541.

36. M. Tamer Kosan, Truong Cong Quynh, Nilpotent-invariant rings and modules, Commu.

Algebra, 45(7) (2017), 2775-2782

37. Truong Cong Quynh, M. T. Kosan, On automorphism-invariant modules, J. Algebra

Appl., 5 (2015), 1550074.

38. Truong Cong Quynh and M. Tamer Kosan, Modules with ADS-(pre)envelopes and

ADS-(pre)covers, Journal of Algebra and its Application, 17(5) (2018), 1850096.

39. Truong Cong Quynh, A. Abyzov, N. T. T. Ha, Y. Tulay, Modules close to the

automorphism invariant and coinvariant, Journal of Algebra and its Application 18 (2019),

1950235

40. Truong Cong Quynh, A. Abyzov, M. T. Kosan, On (weakly) cohopfian automorphism￾invariant modules, Communications in Algebra, 48(7) (2020), 2894-2904.

9

41. Truong Cong Quynh, A. Abyzov, D. D. Tai, Modules which are invariant under nilpotents

of their envelopes and covers, Journal of Algebra and its Applications, ̣(2020).

https://doi.org/10.1142/S0219498821502182.

42. Truong Cong Quynh, A. N. Abyzov, D. T. Trang, Rings all of whose finitely generated

ideals are automorphism-invariant, Journal of Algebra and its Applications, (2021).

https://doi.org/10.1142/S0219498822501596

43. A. Abyzov, L. V. Thuyet, Truong Cong Quynh, A. A. Tuganbaev, Modules which are

coinvariant under idempotents of their covers, Siberian Mathematical Journal, 60 (2019),

927-939.

44. A. N. Abyzov, Truong Cong Quynh, A. A. Tuganbaev, Modules that are invariant with

respect to automorphisms and idempotent endomorphisms of their hulls and covers, Journal

of Mathematical Sciences, 159(2019), 3-45

45. Le Van Thuyet, Phan Dan and Truong Cong Quynh, On rings with envelopes and covers

regarding to C3, D3 and flat modules, J. Algebra and Its Applications, (2020).

https://doi.org/10.1142/S0219498821502285.

46. Tsiu-Kwen Lee, Jheng-Huei Lin, T.C.Quynh, Triplet invariance and parallel sums,

Bulletin of the Australian Mathematical Society,

(2021). https://doi.org/10.1017/S0004972720001550

c) Đánh giá kết quả các công trình nghiên cứu đã công bố (ưu, khuyết, những tồn tại…)

Các công trình trên đã tìm ra được nhiều đặc trưng của các lớp môđun bất biến đẳng cấu.

Ngoài ra, cấu trúc của các lớp vành thông qua tính bất biến của các môđun cũng đã nghiên

cứu. Đặc biệt, nhiều cấu trúc của các lớp vành cổ điển đã được đưa ra. Tuy nhiên, một số cấu

trúc vành thông qua tính xyclic của các môđun và đối ngẫu của chúng vẫn chưa được các tác

giả trong và ngoài nước nghiên cứu. Ngoài ra, mối liên hệ giữa môđun bất biến lũy linh và

lớp môđun tựa nội xa cốt yếu, đặc trưng của vành thông qua tính bất biến lũy linh vẫn chưa

được nghiên cứu.

d) Tính cấp thiết tiến hành nghiên cứu (tính mới, tính khoa học)

Đề tài tập trung nghiên cứu các tính chất của các môđun bất biến đẳng cấu, đối bất biến đẳng

cấu, bất biến lũy linh và liên quan đến mở rộng của môđun nội xạ, sau đó đặc trưng các vành

liên quan. Hơn nữa, đề tài hướng đến việc giải quyết một số bài toán mở liên quan tính bất

10

biến của các môđun dưới tác động của các tự đẳng cấu của bao và phủ của chúng. Do những

bài toán này vẫn chưa có ai giải quyết triệt để và nhiều nhà toán học cũng đang tập trung

nghiên cứu nên là một vấn đề mới, có tính thời sự và cần thiết phải tiến hành nghiên cứu.

2. Mục tiêu

a) Mục tiêu tổng quát.

Tìm hiểu tính bất biến của các môđun và vành liên quan.

b) Mục tiêu cụ thể.

- Nghiên cứu các tính chất khác của môđun bất biến đẳng cấu, môđun đối bất biến đẳng cấu,

bất biến lũy linh và các tổng quát hóa của chúng.

- Giải quyết một số bài toán mở liên quan tính bất biến của các môđun dưới tác động của các

tự đẳng cấu của bao và phủ tổng quát.

- Nghiên cứu cấu trúc của các vành liên quan thông qua tính nội xạ và xạ ảnh của các môđun.

3. Phương pháp nghiên cứu:

Nội dung 1: Nghiên cứu các đặc trưng của vành bất biến đẳng cấu và đối ngẫu của chúng

- Cách tiếp cận: Tiếp cận các kết quả nghiên cứu thông qua phương pháp xét các cấu xạ đặc

biệt trong phạm trù Mod-R. Tiếp cận các vấn đề để có những kết quả mạnh hơn các kết quả

đã có của nhóm chúng tôi, của các tác giả trong và ngoài nước.

- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học.

- Kết quả: Kết quả về đặc trưng của vành bất biết đẳng cấu và đối ngẫu của chúng.

Nội dung 2: Nghiên cứu lớp môđun bất biến lũy linh và vành liên quan

- Cách tiếp cận: Tiếp cận các kết quả nghiên cứu thông qua phương pháp xét mối liên hệ

phần tử lũy đẳng và căn Jacobson của vành. Tiếp cận các vấn đề để có những kết quả đã có

của nhóm chúng tôi, của các tác giả trong và ngoài nước.

- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học.

- Kết quả: Các tính chất của môđun bất biến lũy linh và các vành liên quan.

Nội dung 3: Tìm hiểu cấu trúc vành thông qua tính bất biến của các môđun trên vành đó.

- Cách tiếp cận: Tiếp cận các kết quả nghiên cứu thông qua phương pháp xét sự phân tích

của vành chính quy tự nội xạ. Tiếp cận các vấn đề để có những kết quả đã có của nhóm chúng

tôi, của các tác giả trong và ngoài nước.

- Phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật sử dụng: Sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học.