Tim Min Max bang Bat dang thucChuyen deg pps

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

I. Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:

Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm 1

a , 2

a , ..., n

a . Ta có

n

a a ... a 1 + 2 + + n ≥ n

1 2 n

a a ...a

Dấu “=” xảy ra ⇔ 1

a = 2

a = ... = n

a .

Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số 1

a , ..., n

a và b1

, ..., bn

. Ta có

(

2

1

a + ... + 2

n

a )( 2

1 b + ... + 2

bn

) ≥

2

1 1 n n

(a b + ... + a b )

Dấu “=” xảy ra ⇔

1

1

b

a

=

2

2

b

a

= ... =

n

n

b

a

.

Ví dụ 1. Cho x, y > 0. Tìm min f(x, y) = x +

xy(x y)

1

−

.

Giải.

f(x, y) = x +

xy(x y)

1

−

≥ x + 2

)

2

y x y

x(

1

+ − = x + 3

x

4

= 3

x

4

3

x

3

x

3

x

+ + + ≥ 8.

Vậy f(x, y) ≥ 8. Dấu “=” xảy ra ⇔











=

= −

3

x

4

3

x

y x y

⇔











=

=

2

12

y

x 12

4

4

.

Ví dụ 2. Tìm GTNN của S = 3 3

xy z

x + y

với x, y, z > 0 và x + y + z = 1.

Giải.

S =

3 3

xy z

3

y

3

y

3

y

x + + +

≥

3 3

4

3

xy z

3

y

4 x 











⇒ 4

S ≥ 3 3 9 12

4

x y z

1

3

4

=

3 3 9 12 3 9 12

4

12

z

9

y

3

x

1

3 3 9 12

4





































4

S ≥

36 12 24

4

3 9 12

12

z

12

9

y

9

3

x

3

1

3 4

4

























+ +

+ +

= 12

56

3

2

.

S ≥ 3

14

3

2

.