Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

–––––––––––––––––

TRẦN ĐẠI DƢƠNG

TÌM HIỂU LICH SỬ PHÁT TRIỂN TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU………………………………………….…………….……….1

CHƢƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

TRƢỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ ................................................................... 3

1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại ...................................... 3

1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập ............................................. 3

1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại............................................................ 6

1.1.3 Đoạn thẳng vô ƣớc và Phƣơng pháp hình học giải toán đại số ....... 7

1.1.4 Eudoxus và Phƣơng pháp vét cạn .................................................... 8

1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích

phân ............................................................................................................. 11

1.2.1 Đo hình tròn ................................................................................... 12

1.2.2 Cầu phƣơng parabola ..................................................................... 13

1.2.3 Archimedes và calculus ................................................................. 16

1.3 Tính không chia nhỏ đƣợc và kĩ thuật vô cùng bé................................ 17

1.3.1 Kĩ thuật vô cùng bé của Johannes Kepler...................................... 17

1.3.2 Tính không chia nhỏ đƣợc của Bonavetura Cavalieri ................... 18

1.3.3 Cầu phƣơng số học (Arithmetical Quadratures)............................ 19

1.4 Tiếp tuyến.............................................................................................. 21

1.4.1 Phƣơng pháp giả phương trình của Fermat ................................... 21

1.4.2 Quan hệ giữa tiếp tuyến và cầu phƣơng......................................... 23

CHƢƠNG 2 TÌM HIỂU LỊCH SỬ HOÀN CHỈNH KHÁI NIỆM

TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀLEIBNIZ…….…………….………...…26

2.1 Phát triển tích phân của Asaac Newton ................................................ 26

2.1.1 Khái niệm vi phân và đạo hàm của Newton .................................. 26

2.1.2 Nguyên lí cơ bản của phép tính tích phân...................................... 28

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2.1.3 Quy tắc xích và phép lấy tích phân bằng phép thế .........................29

2.2 Phát triển tích phân của Gottfriend Wilhelm Leibniz........................... 34

2.2.1 Khởi đầu: Tổng và Sai phân........................................................... 34

2.2.2 Tam giác đặc trƣng......................................................................... 35

2.2.3 Sự phát minh ra calculus giải tích.................................................. 38

2.2.4 Các kết quả của Newton và Leibniz .............................................. 40

2.3 Thời đại của Euler................................................................................. 41

2.3.1 Khái niệm hàm số...........................................................................41

2.3.2 Tính vi phân của các hàm cơ bản Euler........................................ 43

2.4 Hoàn thiện tích phân bởi Cauchy và Riemann ..................................... 44

2.4.1 Đóng góp của Cauchy trong hoàn thiện khái niệm tích phân........ 47

2.4.2 Đóng góp của Riemann trong hoàn thiện khái niệm tích phân …51

KẾT LUẬN..................................................................................................... 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 53

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

1

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chƣơng trình Toán Trung học Phổ thông, sách giáo khoa hiện

hành thƣờng giới thiệu sơ lƣợc về các nhà toán học và một số kiến thức lịch

sử toán học liên quan đến nội dung bài học.

Tìm hiểu những kiến thức về lịch sử toán nói chung, kiến thức lịch sử

tích phân liên quan đến chƣơng trình toán Trung học Phổ thông nói riêng,

theo tôi, là rất cần thiết. Hơn nữa, giảng dạy toán học thông qua lịch sử toán

học có lẽ cũng là vấn đề rất thú vị và đáng quan tâm.

Với mong muốn tìm hiểu và trang bị cho mình một số kiến thức về lịch

sử tích phân liên quan đến chƣơng trình Trung học Phổ thông và một số biện

pháp để cung cấp kiến thức này cho học sinh Trung học Phổ thông, nhằm

nâng cao chất lƣợng giảng dạy bộ môn toán của cá nhân ở trƣờng Trung học,

tôi chọn đề tài Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân làm Luận văn Cao học.

Luận văn có mục đích tìm hiểu quá trình hình thành, phát triển và định hình

khái niệm tích phân, các nội dung trong tính toán tích phân và ứng dụng của

tích phân. Chúng tôi cũng cố gắng sử dụng những hiểu biết về lịch sử tích

phân trong dạy học toán ở trƣờng Trung học Phổ thông.

Luận văn gồm hai chƣơng:

Chƣơng 1: Tìm hiểu lịch sử phát triển khái niệm tích phân trƣớc Newton

và Leibniz.

Chƣơng 2: Tìm hiểu lịch sử hoàn chỉnh lí thuyết tích phân sau Newton

và Leibniz.

Luận văn đƣợc hoàn thành tại trƣờng Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phƣợng (Viện Toán học,

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Trong suốt quá trình làm

luận văn, tôi đã nhận đƣợc sự hƣớng dẫn tỉ mỉ, nghiêm túc của Thầy. Một số