tiếp tuyến của đồ thị hàm số ôn thi đại học

§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

A. Tóm tắt lý thuyết

Cho y f x = ( ) ( C)

.

1. Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với ( C)

tại M x f x ( 0 0 ; ( ) )

là đường thẳng

( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆ = − + : ' y f x x x f x

.

Ta cũng nói rằng ∆ tiếp xúc với ( C)

hay ( C)

tiếp xúc ∆ , hoặc

∆ và ( C)

tiếp xúc nhau.

Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của ( C)

tại M , ta phải hiểu rằng M thuộc ( C) và M là nơi xảy

ra sự tiếp xúc.

2. Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của ( C)

là tiếp tuyến với ( C)

tại một điểm N nào đó. Điểm M có thể

thuộc ( C)

hoặc không, trong trường hợp thuộc ( C)

thì M lại có thể là tiếp điểm hoặc không

(xem các hình vẽ ở dưới).

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến qua ( ) 1 1 M x y;

của ( C)

.

Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0

x

của ( C)

:

( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆ = − + : ' y f x x x f x

.

B2 ∆ đi qua M khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 y f x x x f x = − + '

. Giải phương trình này để tìm 0

x

.

B3 Thay mỗi 0

x

tìm được ở bước 2 vào phương trình ∆ , ta được một tiếp tuyến qua M của ( C)

.

1

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho

2

2

1

3 1

x x

y

x

− +

=

+

( C)

. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C)

tại điểm M có hoành độ

bằng 1.

Giải. Ta có ( )

2

2

2

3 4 1 '

3 1

x x

y

x

− −

=

+

. Lần lượt thay x =1 vào các biểu thức của y

và y '

, ta được

( )

1

' 1

8

y = −

và

( )

1

1

4

y =

. Suy ra phương trình tiếp tuyến với ( C)

tại M là:

( )

1 1 : 1

8 4

∆ = − − + y x

⇔

1 3

:

8 8

∆ = − + y x

.

Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu y

và y '

thay cho f

và f '

trong trường hợp bài toán chỉ đề cập

đến một hàm số.

Ví dụ 2. Cho

3 2

y x x x = + + + 4 5 2 ( C)

. Viết phương trình các tiếp tuyến của ( C)

tại những giao

điểm của ( C)

với trục hoành.

Giải. Từ phương trình của ( C)

, cho y = 0

ta được:

3 2

x x x + + + = 4 5 2 0 ⇔ ( ) ( )

2

x x + + = 2 1 0 ⇔

2

1

x

x

 = −



 = −

.

Suy ra ( C)

có hai giao điểm với trục hoành là ( ) 1 M −2;0 và ( ) 2 M −1;0

.

Từ

2

y x x ' 3 8 5 = + + suy ra

y ' 2 1 ( − =)

,

y ' 1 0 ( − =)

. Do đó phương trình tiếp tuyến với ( C)

tại

các điểm M1

,

M2

lần lượt là:

( ) 1 ∆ = + + : 1. 2 0 y x ⇔ 1 ∆ = + : 2 y x

,

( ) 2 ∆ = + + : 0. 1 0 y x ⇔ 2 ∆ = : 0 y

.

Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho ( )

3 2 y x x C = − + 4 6 1 . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

M ( − − 1; 9) của ( C)

.

Giải. Phương trình tiếp tuyến của ( C)

tại điểm có hoành độ 0

x

là:

2

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc