Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ KIM THOA

TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 12 năm 2013

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện truờng Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong quá trình học ở đại học, chúng ta đã quen thuộc với môn

giải tích mà trong đó phép tính vi tích phân đóng vai trò quan trọng.

Với sự phát triển của kỹ thuật hiện đại, nhiều vấn đề được đặt ra và

thúc đẩy toán học phát triển. Gần như ngày càng có nhiều bài toán

liên quan đến yếu tố ngẫu nhiên, và các nhà toán học phải nghiên cứu

đầy đủ, chi tiết để tạo ra các công cụ toán học mới nhằm giải quyết

được những bài toán ngẫu nhiên ấy. Một trong những công cụ mới đó

là phép tính vi tích phân ngẫu nhiên dùng để giải quyết các bài toán

trong dự báo, lý thuyết thông tin, và một số lĩnh vực của vật lý. Với

các lí do trên và tinh thần ham tìm hiểu những kiến thức mới nên tôi

chọn đề tài “ Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu

nhiên” làm đề tài tốt nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu, tiếp cận để hiểu sâu sắc

hơn những kiến thức về lý thuyết xác suất mà cụ thể là tích phân

ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên nhằm phục vụ cho

việc học tập và giảng dạy sau này.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu một cách có hệ

thống các tính chất có liên quan đến tích phân ngẫu nhiên và phương

trình vi phân ngẫu nhiên.

b. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu việc xây dựng các tính chất và phép biến đổi của tích

phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên và các ứng dụng

của chúng.

2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Cố gắng trình bày một cách rõ ràng, mạch lạc phần lý thuyết của

tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên nhằm hoàn

thành tốt luận văn để nó trở thành một tài liệu hữu ích phục vụ cho

công việc học tập và giảng dạy.

5. Phương pháp nghiên cứu

· Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài tích phân ngẫu nhiên và

phương trình vi phân ngẫu nhiên.

· Phân tích tài liệu.

· Tổng hợp tài liệu.

· Thực hiện suy luận toán học để xem xét các khía cạnh của tích

phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo dành

cho học viên và giáo viên giảng dạy phần tích phân ngẫu nhiên và

phương trình vi phân ngẫu nhiên.

7. Dự kiến cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn dự kiến có 3 chương:

Chương 1. Cơ sở lý thuyết về xác suất

1.1 Đại cương về xác suất

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên

2.1 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

2.2 Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên

2.3 Quá trình xác định bởi tích phân ngẫu nhiên

2.4 Tích phân ngẫu nhiên tổng quát

3

Chương 3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên

3.1 Định nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên

3.2 Các tính chất của phương trình vi phân ngẫu nhiên

3.3 Nhiễu trắng và phép tính ngẫu nhiên

3.4 Phương trình khuyếch tán

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XÁC SUẤT

1.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

1.1.1. Không gian xác xuất, dãy các biến cố

a. Không gian đo được

Cho tập W và a là lớp các tập con của W . Lớp a được gọi là

một - đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

· WŒa

· Nếu thì \ c AŒa a A A = W Œ

· Với mọi dãy { }

1

thì

n n n

n

A A *

•

Œ

=

à Œ a a ( *

là tập hợp các

số nguyên dương).

Ta gọi cặp (W,a) là một không gian đo được hay không gian

khả đo, (the measurable space).

b. Không gian xác suất

Một hàm tập m từ một - đại số a vào tập số thực được

gọi là một độ đo trên a nếu nó thỏa mãn:

· m (Æ =) 0 .

· Với mọi AŒa thì 0 m ( A) ³ .

· Hàm tập m là s - cộng tính, nghĩa là với bất kì các tập

An n

* Œ a, Œ thỏa mãn , Ai j « A = Æ " ¹i j thì

( )

1 1

i i

i i

m m A A

• •

= =

Ê ˆ Á ˜ =

Ë ¯ Â .

Nếu a là - đại số các tập con của tập W ¹ Æ và m (W =) 1 thì

độ đo m được gọi là độ đo xác suất. Khi đó, bộ ba (W, A, m) được

gọi là một không gian xác suất.

c. Dãy các biến cố

Trong không gian xác suất (W, A, m) ta gọi:

5

· Các tập AŒa gọi là các biến cố, đặc biệt nếu {w}Œa thì ta

gọi nó là biến cố sơ cấp.

· Các biến cố A B, nếu thỏa mãn A B = Æ thì ta gọi các biến

cố đó xung khắc.

· Nếu AŒa , thì ta gọi \

c A A = W là biến cố đối của biến cố A.

· Nếu các biến cố A B, thỏa mãn A B Ã thì ta nói B là biến cố

kéo theo của biến cố A.

· Ta gọi biến cố Æ là biến cố không thể, biến cố W là biến cố

chắc chắn.

· Nếu A là một biến cố thì ta gọi m ( A) là xác suất của biến cố A.

d. Các tính chất của xác suất

Cho (W, A, m) là một không gian xác suất. Độ đo xác suất m có

các tính chất sau:

Định lý 1.1. [9] Nếu AŒa thì A 0 £ £ m ( ) 1.

Định lý 1.2. [9] Nếu A, BŒa và A Ã £ B, thì . m m ( A B ) ( )

Định lý 1.3. [9] Với mọi A B, Œa , ta luôn có công thức cộng

xác suất sau:

m ( A+ B) = m ( A) + - m m (B) ( A B. ) .

Đặc biệt, nếu A.B = Æ thì m ( A+ B) = + m m ( A B ) ( ) .

Định lý 1.4. [9] Trong không gian xác suất (W, A, m) với

{Ai

, i n =1, } là họ đầy đủ các biến cố thì với mọi biến cố E, ta có:

( ) ( ) ( )

1

.

i

n

A i

i

m E m m E A

=

=Â (công thức xác suất toàn phần)

( )

( ) ( )

( )

. A i i

E i

E A

A

E

m m

m

m

= , với mọi m (E) > 0 (công thức Bayes).

6

1.1.2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên

a. Kỳ vọng (Expectation)

Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi kỳ vọng của x là số

được kí hiệu bởi E(x ) và được xác định bởi E d (x ) x w( ) m w ( )

W

= Ú

nếu tích phân đó hội tụ tuyệt đối.

b. Phương sai (variance)

Nếu đại lượng ngẫu nhiên x có ( )

2

E E x x - thì ta gọi đại lượng

này là phương sai của x và ký hiệu Var(x ) .

Vậy ( ) ( )

2

Var x = - E E x x

c. Moment

Nếu đại lượng ngẫu nhiên x tồn tại ( ) , 0 k

E x x - > E k thì ta nói

đại lượng này là moment xuyên tâm bậc k của x . Đại lượng

( )

k

E a x - được gọi là moment bậc k của x tại a . Trường hợp

a = 0 thì ta nói moment này là monent qua gốc bậc k của x và

thường ký hiệu n x k ( ) . Nếu không có gì nhầm lẫn thì ta gọi tắt

moment qua gốc là moment.

1.1.3. Các khái niệm hội tụ trong xác suất

a. Hội tụ theo phân phối

Giả sử 1 2 F F, ,... là một dãy các hàm phân phối tích lũy ứng với

các biến ngẫu nhiên 1 2 X X, ,... , và F là hàm phân phối ứng với biến

ngẫu nhiên X. Khi đó, dãy Xn

hội tụ về X theo phân phối nếu:

lim ( ) ( ) n

n

F a F a

Æ•

= , với mọi aŒ mà tại đó F liên tục.

Sự hội tụ theo phân phối thường được ký hiệu bởi: X X n æDæÆ

b. Hội tụ theo xác suất

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ theo xác suất về

X nếu lim 0 ( n )

n

P X X e

Æ•

- ³ = với mọi e > 0 . Hội tụ theo xác suất

chính là sự hội tụ của xác suất, được ký hiêụ bởi P X X n ææÆ

7

c. Hội tụ hầu như chắc chắn

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn

hay hầu khắp nơi hay với xác suất 1 hay mạnh về X nếu:

(lim 1 n ) n

P X X

Æ•

= = .

d. Hội tụ theo trung bình bậc r

Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ theo trung bình

bậc r về X trong không gian định chuẩn r

L , nếu 1,

r

n

r ³ E X < •

với mọi n và lim 0 ( )

r

n

n

E X X

Æ•

- = .

e. Các mối liên hệ ngược của các hội tụ

1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BẬC HAI

1.2.1. Các khái niệm

Biến ngẫu nhiên X nếu thỏa mãn 2

E X < +• được gọi là một

biến ngẫu nhiên bậc hai, (X có thể nhận giá trị phức).

Quá trình {Xt

, t T Œ } được gọi là quá trình bậc hai nếu , X t t " là

các biến ngẫu nhiên bậc hai.

Một quá trình ngẫu nhiên{Xt

, t T Œ } là một họ các biến ngẫu

nhiên, sinh ra bởi tham số thực t và xác định trên cùng một không

gian xác suất(W, A, m) . Với mỗi w ŒW thì {Xt (w), t T Œ } là một

hàm xác định trên T và được gọi là hàm mẫu của quá trình ngẫu

nhiên.

a. Quá trình ngẫu nhiên bậc hai thực

Cho (W, , A m ) là không gian xác suất. Biến ngẫu nhiên

: Xt W Æ , t là tham số và t T Œ à được gọi là một quá trình

ngẫu nhiên thực.

Nếu Tn n ={t

1 2 ,t t ,..., } là tập con hữu hạn của T, ta kí hiệu Tn

P là hàm

phân phối đồng thời của {Xt1 2

, X X t t ,...,

n } , nghĩa là: