Tỉ lệ vàng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ LINH

TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ LINH

TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN DANH NAM

Thái Nguyên, 10/2017

i

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Mở đầu 2

1 Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci 4

1.1 Tỉ lệ vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Mối liên hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci . . . . . . 30

2 Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa tỉ lệ vàng với

thực tiễn 33

2.1 Hình chữ nhật vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Hình tam giác vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Đường xoắn ốc vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Một số ứng dụng của tỉ lệ vàng trong thực tiễn . . . . . 52

Kết luận 71

Tài liệu tham khảo chính 72

ii

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nguyễn

Danh Nam, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn,

cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo,

các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều

kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi

trong suốt quá trình học tập.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Linh

2

Mở đầu

Tỉ lệ vàng là một số vô tỉ được xác định là 1 + √

5

2

. Nó đã được quan

tâm bởi các nhà toán học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ

và thậm chí là các nhạc sĩ từ thời cổ đại.

Euclide - nhà toán học đã từng nói đến tỉ lệ vàng trong tác phẩm

bất hủ của ông mang tên "Cơ bản". Theo Euclide, điểm I trên đoạn

AB được gọi là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn được gọi là

điểm vàng) nếu thoả mãn: AI

IB

=

AB

AI . Đặt AI

IB

=

AB

AI = x, số x được

gọi là tỉ lệ vàng và điểm I là điểm vàng của đoạn AB. Ở thời kỳ trung

đại, có khá nhiều phát hiện về sự tồn tại của tỉ lệ vàng trong các hình

tự nhiên như hình ngôi sao năm cánh, hình đa giác mười cạnh,... trong

dãy số Fibonacci. Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng là "tỉ

lệ thần thánh" trong tác phẩm Proportione Divina. Ở thời kỳ hiện

đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ cái Hy Lạp phi (ϕ) là kí hiệu

của tỉ lệ vàng. Như vậy, ngoài tên tỉ lệ vàng nó còn được gọi là phần

vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh và có giá trị là 1.61803. . . Một số vô

tỉ không thể biểu diễn bằng một tỉ số hữu hạn số nguyên. Những con

số này được tạo thành tập vô hạn và một số như π (tỉ số của chu vi

với đường kính của một đường tròn) và e (cơ sở của logarit tự nhiên)

nổi tiếng và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Tại sao tỉ lệ vàng lại

thu hút được sự quan tâm sâu sắc và ứng dụng của nó là gì?

Một số vô tỉ được thể hiện dưới dạng I =

a +

√

b

c

trong đó ϕ được

xác định bởi các giá trị a = 1, b = 5 và c = 2. Các số vô tỉ như

a = 3, b = 3 và c = 3 có sự đối xứng hơn so với tỉ lệ vàng và một giá trị

tương tự 1.57735. . . Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu một số tính năng

thú vị và tính chất quan trọng làm cho nó trở lên thu hút trong tập

hợp số vô tỉ.

Các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng sao cho

3

các tác phẩm của họ xấp xỉ tỉ lệ vàng còn các nhà toán học đã nghiên

cứu tỉ lệ vàng vì tính độc đáo cũng như các tính chất lí thú của nó.

Qua nhiều năm, các nghệ sĩ và kiến trúc sư đã nỗ lực tìm kiếm mối

quan hệ giữa tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật và

các lĩnh vực khác. Những con số này được nổi bật nên trong một số

công trình xây dựng hình học và có một số tính chất toán học thú vị.

Từ đó dẫn đến sự yêu thích của những người đam mê đã gán những

thuộc tính huyền bí đến số này và dẫn đến những cái tên như: giá trị

trung bình vàng và tỉ lệ thần thánh.

Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng là một trong những yếu tố

quan trọng tạo nên tổng thể của một công trình kiến trúc đẹp, một

không gian hài hòa hay một sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng

tạo.

Trong toán học và nghệ thuật, đại lượng được xem là tỉ số vàng hay

tỉ lệ vàng nếu tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn

hơn bằng tỉ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn tức toàn

thể và tất cả chỉ có một giá trị tương quan duy nhất bằng 1, 618033987

(con số vàng). Tỉ số này đã được con người sử dụng hàng thế kỷ qua và

tiếp tục có mặt trong các tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc cho

đến ngày nay. Nó cũng xuất hiện trong các tỉ lệ trên cơ thể con người,

sự biến động của thị trường chứng khoán và rất nhiều ảnh hưởng khác

tới cuộc sống và vạn vật. Luận văn tìm hiểu về tỉ lệ vàng, một số ứng

dụng của tỉ lệ vàng trong Toán học và liên hệ giữa toán học với thực

tiễn.

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung

của luận văn, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

Chương 1: "Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa

của tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci và mối quan hệ giữa chúng. Các kiến

thức cơ bản về tỉ lệ vàng, các kiến thức về dãy Fibonacci và mối quan

hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci.

Chương 2: "Ứng dụng của tỉ lệ vàng và sự liên hệ giữa Toán học với

thực tiễn" trình bày ứng dụng của tỉ lệ vàng trong hình học: hình chữ

nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng và mối liên hệ của

tỉ lệ vàng và dãy Fibonacci trong đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ

và thiết kế đồ hoạ.

4

Chương 1

Tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci

Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản, tính chất và những biểu

diễn khác nhau của tỉ lệ vàng. Các kiến thức về dãy Fibonacci và mối

quan hệ giữa tỉ lệ vàng và dãy số Fibonacci.

1.1 Tỉ lệ vàng

Nội dung được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [1], [3] và [5].

Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng được gọi là tỉ lệ vàng

nếu tỉ số giữa tổng các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số

giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn.

Tỉ lệ vàng được kí hiệu bằng kí tự ϕ (phi) trong bảng chữ cái Hy

Lạp. Dạng tổng quát của tỉ lệ vàng là:

Hình 1.1 Cách chia AB trong tỉ lệ vàng suy rộng

Giả sử một đoạn thẳng AB được chia thành hai đoạn AC và CB

(Hình 1.1) sao cho

a

AB

AC =



βAC

CB n

(1.1)