Thuật giải lập và khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM

HỒ QUANG ĐỨC

THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA

NGHIỆM THEO HAI THAM SỐ BÉ CHO PHƯƠNG TRÌNH

SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60. 46. 01

Thành phố HCM 2010

2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Nguyễn Thành Long, Khoa

Toán – Tin học, Trường ĐHKHTN TP. HCM lời cảm ơn sâu sắc nhất. Thầy đã tận tâm

giảng dạy và hướng dẫn tôi từng bước làm quen với công việc nghiên cứu khoa học

một cách nghiêm túc. Đức tính say mê, nghiêm túc trong nghiên cứu khoa học của

Thầy là tấm gương để thế hệ chúng tôi noi theo.

Nhân đây, tôi cũng biết ơn sâu sắc Thầy TS. Trần Minh Thuyết đã dành nhiều

thời gian, công sức hướng dẫn và đưa ra nhiều góp ý quý báu cho luận văn của tôi.

Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ -

Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho

tôi hoàn thành chương trình học và quá trình hoàn thành luận văn.

Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trường THPT

Vĩnh Kim – Tiền Giang, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất, tinh thần cũng

như thời gian để tôi hoàn thành tốt chương trình học tập và trong thời gian viết luận

văn.

Lời thân thương nhất xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều

kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này;

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót,

rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè

đồng nghiệp.

Tiền Giang, tháng 10 năm 2010.

Hồ Quang Đức

4

Chương 1

PHẦN TỔNG QUAN

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho

phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây

( ) ( , , ), 0 1, 0 , tt xx t u t u u f x t u x t T          (1.1)

(0, ) 0, (1, ) (1, ) ( ),

x

u t u t u t g t     (1.2)

0 1 ( , 0) ( ), ( , 0) ( ), t

u x u x u x u x     (1.3)

trong đó   , là các hằng số; ,

0

u ,

1

u , f g , là các hàm cho trước thỏa các điều kiện

mà ta sẽ chỉ ra sau. Phương trình (1.1) mô tả dao động phi tuyến của một sợi dây đàn

hồi, ở đây, u là độ võng, các hằng số   , và các hàm ,

0

u ,

1

u , f g , xuất hiện trong

bài toán có một ý nghĩa Cơ học nào đó. Bài toán (1.1) − (1.3) cũng được nhiều nhà

toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, xem [3 – 13], [15 – 17] và các

tài liệu tham khảo trong đó.

Phương trình (1.1) với các dạng khác nhau của , f và các điều kiện biên khác

nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn

Trong [3], N. T. Long, A. P. N. Định, T. N. Diễm đã khảo sát phương trình (1.1)

với 1, 0, ( , , , , ) ( , , , , ) x t x t        f f x t u u u g x t u u u với điều kiện biên hỗn hợp

không thuần nhất.

Trong [5], N. T. Long, N. C. Tâm, N. T. T. Trúc khảo sát phương trình (1.1) với

1, 0, ( , , , , ) x t     f f x t u u u với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất.

Trong [6] N. T. Long đã nghiên cứu bài toán (1.1) với 2

( , ), B t ux

   

0, ( , , , , ) x t   f f x t u u u với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất.

Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài

toán (1.1) – (1.3) với g t( ) 0.  Chứng minh được dựa vào phương pháp Galarkin liên

kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact.

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài

toán (1.1)  (1.3) bằng cách đổi ẩn hàm, ta đưa bài toán (1.1)  (1.3) về bài toán của có

điều kiện biên thuần nhất đã xét ở chương 3.

5

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai

{ }m

u về nghiệm yếu của bài toán (1.1)  (1.3) thỏa một đánh giá sai số

2

*

.

n

m

    u u C

Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu bài toán nhiễu theo 2 tham số bé ( , )  

0 1

( ) ( , , ), 0 1, 0 ,

(0, ) 0, (1, ) (1, ) ( ),

( , 0) ( ), ( , 0) ( ),

tt xx t

x

t

u t u u f x t u x t T

u t u t u t g t

u x u x u x u x

 





       







   









   

 

trong đó, 0 1 , , , , f g u u   là các hàm cho trước.

a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu ,

u u    của bài toán ,

( ) P  khi

  0 , 0 .    

b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ,

u u    của bài toán ,

( ) P  theo 2

tham số bé ( , )   , có nghĩa là có thể xấp xỉ nghiệm ,

u  bởi một đa thức theo hai biến

 , :



,

( , ) ( , ) i j

ij

i j N

u x t U x t    

 

 

Theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm U x t i j N ij( , ) ( , 1, )  và thiết lập đánh giá



 

1

2 2

,

*

( , )

N

i j

ij N

i j N

u U x t C      



 

   

Theo một chuẩn thích hợp 

 , với các tham số dương  , đủ bé, hằng số CN

độc

lập với các tham số bé  , .

Trong chương 7, ta xét một bài toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm

tiệm cận của bài toán nhiễu ở chương 6.

Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau.

Chương 1: Tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn và nêu các kết quả liên quan

đến bài toán, đồng thời nêu bố cục của luận văn.

Chương 2: Chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số

không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm.

6

Chương 3: Chúng tôi nghiên cứu một thuật giải xấp xỉ tuyến tính, sự tồn tại và duy

nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1)  (1.3) với g t( ) 0  .

Chương 4: Sự dụng kết quả của chương 3 để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm

yếu của bài toán (1.1)  (1.3).

Chương 5: Nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai cho bài toán (1.1)  (1.3).

Chương 6: Dáng điệu tiệm cận và khai triển tiệm cận của bài toán (1.1) – (1.3).

Chương 7: Xét một ví dụ cụ thể.

Kế đến là Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết quả đã thực hiện trong luận văn và cuối

cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.

1

Chương 2

MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

2.1. Các không gian hàm

Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu   (0,1), (0, ), 0. Q T T T    Ta bỏ qua định

nghĩa các không gian hàm thông dụng như: ( ), 

m C ( ) , p p L L   ( ) , m m H H  

, , ( ) . W W m p m p   Ta có thể xem trong [1]. Ta định nghĩa 2 H L  ( ) là không gian

Hilbert đối với tích vô hướng

1

2

0

    u v u x v x dx u v L , ( ) ( ) , , . 

(2.1)

Ký hiệu || ||  chuẩn sinh bởi tích vô hướng này, nghĩa là

1/2 1

2 2

0

|| || , ( ) , . u u u u x dx u L         

 

    

(2.2)

Ta định nghĩa

1 2 2 { : }, H v L v L   x

(2.3)

và

1

, , , .

H x x

        u v u v u v (2.4)

1 H là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (2.4). Ta ký hiệu 1 1 || || ,

H H

v v v    là

chuẩn trong 1 H . Ta có bổ đề sau.

Bổ đề 2.1. Phép nhúng 1 H ↪ 0 C ( )  là compact và

0 1

1

( )

|| || 2|| || , .

C H

v v v H



   (2.5)

Chứng minh bổ đề 2.1 có thể tìm trong [1].

Bổ đề 2.2. Đồng nhất H với H (đối ngẫu của H ). Khi đó ta có 1 H ↪H H   ↪ 1

( ) H  ,

với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.

Chú thích 1.1. Từ bổ đề 2.2 ta dùng ký hiệu tích vô hướng   , trong 2 L để chỉ cặp tích

đối ngẫu giữa

1 H và 1

( ) H 

Ta cũng ký hiệu || ||X

 để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X và gọi X là

không gian đối ngẫu của X.