Tập hợp nguyên trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

LÊ LƯƠNG TỚI

TẬP HỢP NGUYÊN TRONG MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

LÊ LƯƠNG TỚI

TẬP HỢP NGUYÊN TRONG MẶT PHẲNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. VŨ HOÀI AN

THÁI NGUYÊN - 2017

iii

Mục lục

Lời mở đầu 1

1 Tập hợp nguyên trong mặt phẳng 3

1.1 Mở đầu, các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Định lý Euclid về số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Định lý Fermat về tổng hai bình phương . . . . . . . . 5

1.1.3 Định lý Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Tập hợp nguyên trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Điểm nguyên trong mặt phẳng 16

2.1 Mở đầu, các khái niệm và ví dụ, kết quả bổ trợ . . . . . . . . . 16

2.2 Định lý Anning- Erdos và Định lý Pick đối với điểm nguyên . 19

2.3 Tập nguyên, điểm nguyên với toán học phổ thông . . . . . . . 23

2.3.1 Các ví dụ về tập nguyên, điểm nguyên ứng dụng Định

lý Pick trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Các ví dụ về tìm điểm có tọa độ nguyên trên đường cong 27

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

1

Lời mở đầu

Một tập hợp điểm S của không gian Euclid R

d được gọi là một tập hợp

nguyên nếu mọi khoảng cách giữa các phần tử của S là các số nguyên. Năm

1945, Anning và Erdos [2] đã chứng minh rằng, đối với số nguyên dương n bất

kì ta luôn tìm được n điểm phân biệt không thuộc cùng một đường thẳng sao

cho mọi khoảng cách giữa các phần tử của nó là các số nguyên, nhưng không

thể tìm được tập vô hạn không thuộc cùng một đường thẳng là một tập nguyên.

Graham, Rothschild và Straus [3] đã chứng minh rằng, tồn tại d + 2 điểm của

không gian Euclid R

d mà khoảng cách của chúng là số nguyên lẻ nếu và chỉ

nếu d ≡ 14(mod 16). Một ví dụ kinh điển là tam giác Pythagore sau đây: Xét

tam giác O(0; 0),A(3; 0),B(0; 4) và S = {O,A,B}. Khi đó S là một tập nguyên

của không gian Euclid R

2

. Mặt khác tam giác Pythagore liên quan đến phương

trình nghiệm nguyên. Hơn nữa, phương trình nghiệm nguyên, việc tìm điểm

thuộc đồ thị có tọa độ nguyên xuất hiện trong Báo Toán học và Tuổi trẻ, trong

các đề thi tốt nghiệp phổ thông, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi, trong các tài

liệu toán nâng cao dành cho học sinh, giáo viên toán trung học cơ sở, trung học

phổ thông, trong chương trình toán học trung học cơ sở, trung học phổ thông.

Vì lí do đó, chúng tôi xem xét vấn đề: Tập hợp nguyên trong mặt phẳng.

Mục đích của đề tài luận văn là: Tổng hợp, trình bày lại các kết quả trong

[2-4] về tập hợp nguyên trong mặt phẳng và các ví dụ trong toán học phổ thông

thể hiện ứng dụng của vấn đề: Tập hợp nguyên trong mặt phẳng.

Nội dung của đề tài được viết trong hai chương. Chương 1 có tiêu đề "Tập

hợp nguyên trong mặt phẳng" trình bày các khái niệm và kết quả bổ trợ về tập

hợp nguyên trong mặt phẳng.