Tài liệu xử lý tín hiệu số - Chương 3

Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 32 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Chương 3

BIẾN ĐỔI Z

1. Biến đổi z

1.1. Biến đổi z trực tiếp

Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau:

X(z) = ∑

∞

=−∞

−

n

n x (3.1) (n)z

Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau:

X(z) = Z[x(n)] (3.2)

Hay: x(n) X(z) ←⎯→z (3.3)

Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ.

Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region

Of Convergence).

VD: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau:

c x(n) = {1,2,5,7,0,1}

↑

X(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5 hữu hạn khi z ≠ 0 Æ ROC = C\{0}

d x(n) = {1,2,5,7,0,1}

↑

X(z) = z2

+ 2z + 5z + 7z-1 + z-3 hữu hạn khi z ≠ 0 và z ≠ ∞Æ ROC = C\{0,∞}

e x(n) = δ(n)

X(z) = 1 Æ ROC = C

f x(n) = δ(n - k), k > 0

X(z) = z-k, k > 0 Æ ROC = C\{0}

g x(n) = δ(n + k), k > 0

X(z) = zk

, k > 0 Æ ROC = C\{∞}

Như vậy, đối với tín hiệu hữu hạn thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z và có thể trừ

các giá trị z = 0 và z = ∞.

VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu

x(n) = u(n) 2

1 n

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛

x(n) = {1, 2

1 ,

2

2

1

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ , …}

Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 33 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

X(z) = ∑

∞

=−∞

−

n

n x(n)z = ∑

∞

=−∞

−

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛

n

n

n

u(n)z

2

1

= ∑

∞

=

−

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛

n 0

n

1 z

2

1

X(z) =

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ −

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ −

−

+

−

→∞ 1

N 1

1

N

z

2

1 1

z

2

1 1

lim hội tụ về

⎟

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ − −1 z

2

1 1

1 khi z 1

2

1 1

⎟ <

⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ −

Æ ROC: |z| > ½

Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau:

z = rejθ

(3.4)

X(z) = ∑

∞

=−∞

− − θ

n

n j n x (n)r e

|X(z)| = ∑

∞

=−∞

− − θ

n

n j n x(n)r e ≤ ∑

∞

=−∞

− − θ

n

n j n x(n)r e = ∑

∞

=−∞

−

n

n x(n)r (3.5)

|X(z)| ≤ ∑ ∑

∞

=

− −

=−∞

− +

n 0

n 1

n

n x = (n)r x(n)r ∑ ∑

∞

=

∞

=

− +

n 0 n n 1

n

r

x(n) x( n)r (3.6)

ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng

đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r1) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r1).

Hình 3.1 – ROC của X(z)

ROC của ∑

∞

=

− n 1

n x( n)r

r1

r2

ROC của ∑

∞

n=0 n

r

x(n)

Re(z) Re(z)

Im(z) Im(z)

ROC với r1 > r2

r1

Không tồn tại ROC với r1 < r2

r2

r2

r1

Re(z)

Im(z)

Re(z)

Im(z)