Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tài liêu ôn toán - Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - Phần 6 pdf
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
1.5. THE HYBERBOLIC FUNCTIONAL TECHNIQUE 143
Ví dụ 1.122 Cho các số a; b; c 0: Chứng minh rằng
a
p
3b
2 + ca
+
b
p
3c
2 + ab
+
c
p
3a
2 + bc
3
2
:
(Vasile Cirtoaje)
Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Holder
X
cyc
a
p
3b
2 + ca!2
"
P
cyc
a(a + c)
#3
P
cyc
a(a + c)
3(3b
2 + ca)
:
1.5 The Hyberbolic functional technique
1.5.1 Lời nói đầu
Kỹ thuật này có vẻ là khá mới mẻ nếu các bạn chỉ xem tên của kỹ thuật thôi nhưng
thực ra nó đã từng được giới thiệu rất nhiều lần trên các diễn đàn, các tạp chí với
cái tên phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức (chẳng hạn như ở [5]).
Nhưng, trong các bài viết đó, các tác giả đều chưa khai thác thật triệt để các tính
chất của tiếp tuyến để kỹ thuật trở nên mạnh hơn và được sử dụng nhiều hơn trong
chứng minh bất đẳng thức. Ở đây, trong bài viết này, chúng tôi xin được giới thiệu
cùng các bạn một số tìm tòi của mình trong việc làm mạnh kỹ thuật trên.
1.5.2 Một số ví dụ mở đầu
Để chứng minh một bất đẳng thức f(x1) + f(x2) + + f(xn) 0; mà việc đánh
giá f(x) gặp nhiều khó khăn thì chúng ta sẽ tìm một hàm g(x) dễ đánh giá hơn sao
cho f(x) g(x) và ta chỉ còn việc phải chứng minh bất đẳng thức còn lại chặt hơn
nhưng dễ hơn là
g(x1) + g(x2) + + g(xn) 0:
Ví dụ 1.123 Cho các số không âm a; b; c; không có 2 số nào đồng thời bằng 0: Chứng
minh rằng
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
3
2
:
(Nesbitt)
144 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN
Lời giải. Chuẩn hóa cho a + b + c = 3; bất đẳng thức trở thành
a
3 a
+
b
3 b
+
c
3 c
3
2
Với mọi x 3; ta có
4x
3 x
3x 1
,
3(x 1)2
3 x
0:
Do đó
4a
3 a
+
4b
3 b
+
4c
3 c
(3a 1) + (3b 1) + (3c 1) = 6
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.124 Cho các số không âm a; b; c; tất cả không đời bằng 0: Chứng minh rằng
(2a + b + c)
2
2a
2 + (b + c)
2
+
(2b + c + a)
2
2b
2 + (c + a)
2
+
(2c + a + b)
2
2c
2 + (a + b)
2
8:
(USAMO 2003)
Lời giải. Chuẩn hóa cho a + b + c = 3; bất đẳng thức trở thành
(3 + a)
2
2a
2 + (3 a)
2
+
(3 + b)
2
2b
2 + (3 b)
2
+
(3 + c)
2
2c
2 + (3 c)
2
8
,
X
cyc
a
2 + 6a + 9
a
2 2a + 3
24
Với mọi x 3; ta có
x
2 + 6x + 9
x
2 2x + 3
4x + 4
,
(4x + 3)(x 1)2
x
2 2x + 3
0
Do đó
X
cyc
a
2 + 6a + 9
a
2 2a + 3
X
cyc
(4a + 4) = 24
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.125 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn abc = 1: Chứng minh răng
p
a
2 + 1 + p
b
2 + 1 + p
c
2 + 1
p
2(a + b + c):
1.5. THE HYBERBOLIC FUNCTIONAL TECHNIQUE 145
Lời giải. Xét hàm số f(x) = p
x
2 + 1
p
x + p
1
2
ln x với x > 0; ta có
f
0
(x) =
(1 x)
h
1 x + 2x
2 + 2x
2p
2(1 + x
2)
i
x
p
2(x
2 + 1) p
2x
2 +
p
x
2 + 1
f
0
(x) = 0 , x = 1
Từ đây dễ thấy
f(x) f(1) = 0 8x > 0
)
p
x
2 + 1
p
2x
1
p
2
ln x
Do đó
p
a
2 + 1 +p
b
2 + 1 +p
c
2 + 1
p
2(a+b+c)
1
p
2
(ln a+ ln b+ ln c) = p
2(a+b+c)
Bất đẳng thức được chứng minh.
Câu hỏi đặt ra là làm sao để chúng ta có thể chọn được các hàm g(x) thích hợp?
Thật ra, ở đây hàm g(x) được lựa chọn dựa vào điều kiện ràng buộc các biến của bài
toán, chẳng hạn như nếu điều kiện là x1 + x2 + + xn = n thì g(x) = k(x 1); nếu
x
2
1 + x
2
2 + + x
2
n = n thì g(x) = k(x
2 1), và nếu x1x2 xn = 1 thì g(x) = k ln x
với k là hằng số mà ta sẽ chọn sau. (Ở đây ta giả sử bất đẳng thức có đẳng thức xảy
ra tại x1 = x2 = = xn = 1). Ở đây nếu f có đạo hàm và liên tục lại x = 1 thì
k = f
0
(1): Nhưng trong một vài trường hợp, ta không cần phải tính đạo hàm làm gì
mà vẫn có thể dễ dàng chọn bằng phép biến đổi tương đương, chẳng hạn như ở bất
đẳng thức Nesbitt, chúng ta cần chọn sao cho
x
3 x
k(x 1) + 1
2
8x 2 (0; 3)
, (x 1)
3
2(3 x)
k
0
Để bất đẳng thức này không đổi dấu khi x chạy qua giá trị 1 thì ta phải chọn k sao
cho
3
2(3 x)
k = 0
có nghiệm x = 1 (nếu không thì bất đẳng thức sẽ không đúng), từ đó suy ra k =
3
4
:
Ví dụ 1.126 Cho các số thực a; b; c thỏa mãn a + b + c = 6: Chứng minh rằng
a
4 + b
4 + c
4 2(a
3 +