Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tài liêu ôn toán - Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - Phần 2 docx
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
1.3. KỸ THUẬT P QR 23
1.3.2 Những đẳng thức cần nhớ
Với 3 biến bất kì a; b; c; ta đặt p = a+b+c; q = ab+bc+ca; r = abc (p
2 3q; q2 3pr):
Khi đó, chúng ta có những đẳng thức sau
a
2 + b
2 + c
2 = p
2 2q
a
3 + b
3 + c
3 = p
3 3pq + 3r
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq 3r
(a + b)(b + c)(c + a) = pq r
a
4 + b
4 + c
4 = p
4 4p
2
q + 2q
2 + 4pr
a
2
b
2 + b
2
c
2 + c
2
a
2 = q
2 2pr
a
3
(b + c) + b
3
(c + a) + c
3
(a + b) = p
2
q 2q
2 pr
a
3
(b
2 + c
2
) + b
3
(c
2 + a
2
) + c
3
(a
2 + b
2
) = pq2 (2p
2 + q)r
a
4
(b + c) + b
4
(c + a) + c
4
(a + b) = qp3 3pq2 + (5q p
2
)r
a
5 + b
5 + c
5 = p
5 5p
3
q + 5pq2 + 5(p
2 q)r
Còn rất nhiều những đẳng thức khác nữa, các bạn hãy tự xây dựng cho mình thêm
nhé, chúng sẽ rất có ứng dụng về sau.
1.3.3 Bất đẳng thức Schur
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Schur) Cho các số không âm a; b; c: Khi đó, với mọi
r > 0; ta có bất đẳng thức sau
a
r
(a b)(a c) + b
r
(b c)(b a) + c
r
(c a)(c b) 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b; c = 0 hoặc các hoán vị tương
ứng.
Chứng minh. Do tính đối xứng, giả sử a b c: Khi đó, ta viết bất đẳng thức lại
như sau
(a b)[a
r
(a c) b
r
(b c)] + c
r
(a c)(b c) 0
Ta có
a c b c 0; ar b
r
Nên bất đẳng thức đúng. Bất đẳng thức Schur được chứng minh.
Chúng ta có 2 trường hợp đặc biệt thường hay được ứng dụng để giải toán là r = 1
và r = 2: Khi đó, chúng ta được những bất đẳng thức tương ứng là
Hệ quả 1.1 (Bất đẳng thức Schur bậc 3) Cho các số không âm a; b; c: Khi đó,
bất đẳng thức sau đúng
a
3 + b
3 + c
3 + 3abc ab(a +
24 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN
, abc (a + b c)(b + c a)(c + a b):
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b; c = 0 hoặc các hoán vị tương
ứng.
Hệ quả 1.2 (Bất đẳng thức Schur bậc 4) Cho các số không âm a; b; c: Khi đó,
bất đẳng thức sau đúng
a
4 + b
4 + c
4 + abc(a + b + c) a
3
(b + c) + b
3
(c + a) + c
3
(a + b):
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b; c = 0 hoặc các hoán vị tương
ứng.
Dạng pqr tương ứng của 2 bất đẳng thức trên là
r
p(4q p
2
)
9
r
(4q p
2
)(p
2 q)
6p
Nhưng do 4q p
2
có thể không dương mà r thì luôn luôn không âm nên chúng ta hay
dùng cả 2 bất đẳng thức trên ở dạng sau (sẽ rất hiệu quả)
r max
0;
p(4q p
2
)
9
r max
0;
(4q p
2
)(p
2 q)
6p
Đôi khi bạn sẽ gặp phải trường hợp giả thiết bài toán là a; b; c là độ dài 3 cạnh của
một tam giác (khi đó ta có 4q p
2
), khi đó ta thấy a + b c; b + c a; c + a b là
những số không âm, vậy nên theo bất đẳng thức Schur, ta có
X
cyc
(b + c a)[(b + c a) (c + a b)][(b + c a) (a + b c)] 0
,
X
cyc
(b + c a)(a b)(a c) 0
, r
p(5q p
2
)
18
Tương tự, ta có
X
cyc
(b + c
1.3. KỸ THUẬT P QR 25
, r
p
4 7p
2
q + 13q
2
9p
Vậy chúng ta có các đánh giá
min
p(5q p
2
)
18
;
p
4 7p
2
q + 13q
2
9p
r max
0;
(4q p
2
)(p
2 q)
6p
;
p(4q p
2
)
9
:
Chúng ta thường dùng bất đẳng thức Schur để giải bất đẳng thức trong trường hợp
bất đẳng thức có những đẳng thức tại các điểm a = b = c hoặc a = b; c = 0 hoặc
trong trường hợp a; b; c là độ dài 3 cạnh tam giác thì là a = 2; b = c = 1:
Ví dụ 1.17 Cho các số không âm a; b; c thỏa mãn ab+bc+ca = 3: Chứng minh rằng
a
3 + b
3 + c
3 + 7abc 10:
(Vasile Cirtoaje)
Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với
10r + p
3 9p 10 0
Nếu p 2
p
3 thì ta có
p
3 9p 10 3p 10 6
p
3 10 > 0
Nếu 2
p
3 p 3 thì theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có
r
p(12 p
2
)
9
Do đó
10r + p
3 9p 10
10(p(12 p
2
)
9
+ p
3 9p 10 =
1
9
(p 3)(30 p
2 3p)
Mà
30 p
2 3p 30
2
p
3
2
3 2
p
3 = 18 6
p
3 > 0:
Nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =
c = 1:
Ví dụ 1.18 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 3: Chứng minh rằng
abc +
12
ab + bc + c