Tài liệu ôn thi đại học năm 2010 - 2011 môn toán pptx

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm:

Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’≥ 0 (y’≤ 0) ∀ x ∈ (a;b)

( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b))

2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x):

* PP1: B1: Tìm TXĐ

B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn 0

x ( 0

x ∈TXĐ mà y '

( 0

x ) = 0 hoặc y '

( 0

x ) không XĐ)

B3: Lập bảng biến thiên

B4: Tìm cực trị nếu có

Chú ý: Khi x vượt qua 0

x mà /

y đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại 0

x hs đạt giá trị cực đại

/

y đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại 0

x hs đạt giá trị cực tiểu

/

y không đổi dấu thì tại 0

x hs không đạt cực trị.

* PP2: B1: Tìm TXĐ

B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn 0

x ( 0

x ∈TXĐ mà y '

( 0

x ) = 0 hoặc y '

( 0

x ) không XĐ)

B3: Tìm y”, y”( 0

x ) và tìm cực trị nếu có

Chú ý: Nếu y”( 0

x ) < 0 thì tại 0

x hs đạt giá trị cực đại

Nếu y”( 0

x ) > 0 thì tại 0

x hs đạt giá trị cực tiểu

Nếu y”( 0

x ) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị

3. Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị <=> /

y = 0 có n nghiệm phân biệt .

4. f(x) đạt cực đại tại 0

x nếu

/

0

//

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x

 =



 <

; f(x) đạt cực tiểu tại 0

x nếu

/

0

//

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x

 =



 >

5. f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại

/

0

0

0

( ) 0

( )

f x

x x

f x c

 =

= => 

 =

* BÀI TẬP:

(1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau:

1/ y = 4 3 x 8x 5 + + 2/ y = 16x + 2x 2

-

16 3 4

3

x x −

3/ y = 2 3 (1 ) − x 4/ y = 2

( 1) (5 ) x x + −

5/ y = (x + 2) 2

(x – 3) 3 6/ y = 2

1

8

x

x

+

+

7/ y = 2

2

1

x

x x

−

+ +

8/ y =

4

x 48

x

+

9/ y = 3 2

x x .( 5) − 10/ y = 3 2

x - 6. x

11/ y = 3

(7 ). 5 − + x x 12/ y = x x .( 3) −

13/ y = 2

x − − 2x 3 14/ y = 2

25 − x

15/ y = 2

x x − − 20 16/ y =

100

x

x +

17/ y =

3

2

x

x − 6

18/ y = 2

10

x

− x

19/ y = cosx - sinx 20/ y = sin 2x

(2) Chứng minh bất đẳng thức:

1

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

a/ tanx > x ( 0 < x <

2

π

) b/ tanx > x +

3

3

x

( 0 < x <

2

π

)

c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x <

2

π

) d/ 3x 1

2sinx t anx 2 2 2 2

+

+ > ( 0 < x <

2

π

)

e/

2

1

1 1 1

2 8 2

x x

+ − < + < + x x ( 0 < x < +∞ ) g/ a -

3

6

a

< sina < a (∀a >0 )

(3) Cho hàm số: y = 3 2

x m m − + x (m: tham số)

a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y.

b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2)

(4) Tìm m để hàm số:

a/ y =

3

2

( 2) (2 7) 3

3

x

− + + + − m x m x m đồng biến trong khoảng (0; +∞ )

b/ y =

3 2

2

(3 1) (2 2 )

3 2

x x

− + − − − + m m m x m đồng biến trong khoảng (0; 2)

(5) Tìm m để hàm số:

a/ y = 2

(2 1) 2 2

x + m 1

m x m

m

+ − −

−

nghịch biến trên từng KXĐ của nó

b/ y =

2 2 x m m x 2 4

x m

− − +

+

nghịch biến trong khoảng (0;2)

c/ y =

2 2 (2 1) 1

1

x m x m

x

+ − + +

−

đồng biến trong khoảng (-∞ ; -1)

(6) Tìm m để hs:

a/ y =

3

2 2 2 ( 2) (3 1)

3

x

− − − + − + − m m x m x m đạt cực trị tại x = -2

b/ y =

2 4 2 2 ( 1) 3 x 8 m x m m − + + − có ba điểm cực trị

c/ y =

1 3 2 2 x ( 1) 1

3

x m m m x − + − + + đạt cực đại tại x = 1

d/ y =

2

x +1

x + m

x m+

đạt cực tiểu tại x = 2

(7) Tìm a ; b để hs : y = x 4 + ax 2 + b có một cực trị bằng 3

2

khi x = 1

(8) Cho hàm số 1 3 2 1 ( )

3

m

y x mx x m C = − − + + .

a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị .

b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

(9) Cho hàm số 4 2 4

y x mx m m = − + + 2 2 .

Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều

(10) Tìm m để hàm số 4 2

y x m x m = + − + − ( 1) 1 có một cực trị

(11) Cho hàm số 4 2

y x mx m = − + 2 . Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn

a) Lập thành một tam giác đều

b) Lập thành một tam giác vuông

c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4

(12) Cho hàm số

2

2

1

x mx

y

mx

+ −

=

−

. Xác định m để

2

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2

c) Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương

(13) Cho hàm số

2

x mx 1

y

x m

+ +

=

+

. Xác định m để

a. Hàm số có cực trị

b. Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0)

c. Hàm số có cực đại tại x = 2

(14) Cho hàm số

2 2 x mx m

y

x m

− + −

=

−

. Xác định m để

a. Hàm số có cực trị

b. Với m vừa tìm được ở câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại

và cực tiểu của đồ thị hàm số

(15) Cho hàm số

2 2 2 3

2

x mx m

y

x m

− +

=

−

. Xác định m để

Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của trục Ox

(16) Cho hàm số

2

8

1

x mx m

y

x

+ − +

=

−

. Xác định m để

Hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực tiểu nằm ở hai phía của đường

thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0.

(17) Cho hàm số

2 2 ( 1) 4 2

1

x m x m m

y

x

− + − + −

=

−

. Xác định m để

a. Hàm số có cực trị

b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

(18) Tìm a; b để hs : y =

5 2 3 2 2ax 9x + b

3

a x + − có cực đại, cực tiểu là những số dương và

x 0= -

5

9

là điểm cực đại.

(19) Cho hàm số: y =

2 3 2 ( 1) 2 x - m 2 ( ) m x m m f x

x m

+ − + +

=

−

với m ≠ -1

a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu.

b/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2).

(20) Cho hàm số: y = 2

3

1

x

x

+

+

a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m 2

x +1

(21) Cho hàm số: y = 2

1

x m

x

+

+

a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m 2

x +1

(22) Tìm a để hàm số: y =

4 3 2

x ax a x + + + − 8 3(1 2 ) 4 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

(23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a 2

x x − + 4 5 có cực đại

(24) Cho hàm số: f(x) = ( ) n n

x c x + − trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1

a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số.

3

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

b/ Từ kết quả trên hãy chứng minh: ( )

2 2

n n a b a b + + n

≤ với a, b∈ R thỏa a + b≥ 0, n ∈ Z

+

.

Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra.

(25) CMR pt: 2 1 2 ( 1) 3( 2) 0 n n n

n x n x a

+ + + + − + + = không có nghiệm khi n chẵn và a > 3.

(26) Biện luận theo a số nghiệm của pt:

2 2 2

0

2 2 2 2

n n x x x

a

n n

+ +

+ + + =

+ +

(27) Chứng minh:

2 2

2 2 3( ) 8( ) 10 32 x y x y

y x y x

+ − + + ≥ với x.y < 0

(28) Cho x, y, z dương thỏa 2 2 2

x y z + + =1. C/m: 2 2 2 2 2 2

3 3

2

x y z

y z z x x y

+ + ≥

+ + +

CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ

* HÀM BẬC BA: 3 2 y f x ax bx cx d a = = + + + ≠ ( ) ( 0) (C)

/ / 2 y f x ax bx c = = + + ( ) 3 2 .

Để Hs có cực trị thì y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 (∆

y ' > 0)

Chia f(x) cho f/

(x) ta được /

y f x f x q x x = = + + ( ) ( ). ( ) α β

Gọi (x1 ;y1 ), (x 2 ;y 2 ) là hai điểm cực trị, ta có: 1 1

2 2

y x

y x

α β

α β

 = + 

 = +

=> Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y x = + α β .

* HÀM HỮU TỈ:

2

1

1 1

( 0) ax bx c

y aa

a x b

+ +

= ≠

+

Ta có:

2

/ 1 1 1 1

2

1 1

2

( )

aa x ab x bb a c

y

a x b

+ + −

=

+

Hàm số có cực trị khi phương trình g(x) = 2

1 1 1 1 aa x ab x bb a c + + − 2 = 0

có hai nghiệm phân biệt khác x0 =

1

1

b

a

− <=>

/

0

0

g x( ) 0

∆ > 

 ≠

Gọi (x1 ;y1 ), (x 2 ;y 2 ) là hai điểm cực trị, ta có:

1

1

1

2

2

1

2

2

ax b

y

a

ax b

y

a

 +

= 





+  =



=> Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

1

2ax b

y

a

+

=

* BÀI TẬP:

(29) Tìm cực trị của Hs sau:

a/ y =

3

2

2x 1

3

x

− + +x b/ y =

2

2x+3

x-1

x +

(30) Cho hàm số : y = 3 2

x mx x m − + + − 3 9 3 5

a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị.

b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị.

(31) Cho hàm số : y =

2

x m x m ( 1) 1

x m

+ + − +

−

a/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

4

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu.

c/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.

(32) Cho hàm số : y =

2

3

4

x x m

x

− + +

−

Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ax min 4 m

y y − =

(33) Cho hàm số : y =

2

2 3 x x m

x m

− +

−

Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ax min 8 m

y y − >

(34) Cho hàm số : y =

3 2

x x m x m − + + − − 6 3( 2) 6

Xác định m để :

a/ Hàm số có 2 cực trị.

b/ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu

c/ Phương trình 3 2

x x m x m − + + − − 6 3( 2) 6 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

(35) Cho y = f(x) = 3 3 3 ( ) ( ) x a x b x + + + −

a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình: 3 3 3 ( ) ( ) x a x b x + + + − = 0

không thể có 3 nghiệm phân biệt.

CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x)

1/ Phương pháp tìm tiệm cận:

- Đứng:

- Ngang:

- Xiên:

2/ BÀI TẬP:

(36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y =

2

2x 5x +1

x -2

−

d) y = 2x + 2

x +1

b) y =

3

2

3x 4

( 1).( 2) x x

+

− −

e) y = 2

x x + +1

c) y =

2

x 2 + 2

x -1

− x

g) y = 2

3x +1

x 1 + +x

(37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y = 2

x + 2

x 4x + − m

b) y =

2 2 m x 2 x 3

x 1

− − m

+

(38) Tìm m để đồ thị hs:

b) y =

2 2 x 2 ( 1) 3 2

2

m m m x m m

x

− − − + −

+

có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3)

c) y =

2

x x 1

x -1

+ − m

có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

d) y =

2

-3x x 4

4x

m

m

+ +

+

có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0

(39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số :

y =

2

2x 3x +6

x 2

+

+

đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.

5

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

(40) Cho hs : y =

2

x 1

1

x

x

− +

−

có đồ thị (C)

Tìm M ∈ (C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

(41) Tìm a, b, c để hs: y =

2

ax +bx +

x -2

c

có một cực trị bằng 1 khi x = 1 và t/c xiên vuông góc với

đường thẳng y = 1

2

(1- x)

CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x)

B1: Tập xác định

B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có)

B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm của y’; lập bảng biến thiên)

B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn)

B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị)

CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho 2 đường: (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x).

Pt hoành độ giao điểm của hai đường là : f(x) = g(x) (*)

Số nghiệm của Pt (*) là số giao điiểm của hai đường (C1) & (C2)

Điều kiện tiếp xúc: để (C1) tiếp xúc (C2), điều kiện là hệ Pt :

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

 =



 =

có nghiệm

* BÀI TẬP:

(42) Cho (C) : y = x 4

- 5x 2

+ 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x 2 + m . Tìm tọa độ các tiếp điểm

(43) Cho (C) : y = x 4

- (m2 + 10)x 2

+ 9

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0

b) CMR với m ≠ 0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai

điểm nằm trong khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3)

(44) Cho (Cm ) : y = 2x3 + 3(m – 3)x 2 + 11 – 3m

a) Tìm pt các đường thẳng qua A( 19

12

; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C2 ) của hs

b) Tìm m để (C m ) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M1 ; M2 và B(0 ; -1) thẳng hàng

(45) Cho (C) : y = 2x 3

- x 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x1 ; x 2 ; x3 . Tính tổng: 2 2 2

1 2 3 x x x + + ?

(46) Cho (C) : y =

2 1

1

x

x

+

− +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh.

(47) Cho hs : y =

x +1

x -1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

6

Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2010 – 2011 Nguyễn Hùng Cương

b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2

nhánh của (C)

c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất

(48) Cho (C) : y =

2 1

1

x

x

− +

+

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 2 .

Tìm tọa độ của A ; B

(49) Cho (C) : y =

2 1

2

x

x

+

+

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x 1 ;y1 ),

B(x 2 ;y 2 ). Tìm hệ thức giữa x1 ; x 2 độc lập với m

(50) Cho hàm số

2

2 4

2

x x

y

x

− +

=

−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

(51) Cho (C) : y =

2

x x m

x m

− + +

+

a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2 ;0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm

được.

b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x 1 ;y1 ), B(x 2 ;y 2 ).

Tìm hệ thức giữa y1 ; y 2 không phụ thuộc vào m

(52) Cho (C) : y =

2

2

2

x x

x

+ −

−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Gọi A là điểm cực đại của (C). Tìm m để đường thẳng (d) : x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại

hai điểm B ; C sao cho ∆ ABC vuông ở A.

(53) Cho (C) : y =

2

2 3

2

x x

x

− −

−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng

thời độ dài AB ngắn nhất

(54) Cho (C) : y =

2

2 2 1

2 1

x x

x

− +

−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho∆ OAB có diện

tích bằng 10

9

(đvdt)

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x)

1. Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

7