Tài liệu Ôn tập đại số cơ sở bài 15-TS Trần Huyền docx

ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005

Phiên bản đã chỉnh sửa

TS. Trần Huyên

Ngày 29 tháng 4 năm 2005

Bài 15. Các Bài Toán Về Vành Đa Thức

Lý thuyết các vành đa thức cũng như các dạng toán liên quan tới chúng là rất phong phú và

đa dạng. Tuy nhiên trong giới hạn của chương trình, chúng ta chỉ quan tâm chủ yếu tới các dạng

toán của vành đa thức liên quan tới các khái niệm cơ bản của lý thuyết vành. Rải rác, đây đó

trong các mục khác nhau của chuyên đề ôn tập này, ta đã có một số ví dụ về chúng. Phần còn

lại này, chúng ta để ý nhiều hơn tới các dạng toán liên quan tới lý thuyết chia hết trong vành đa

thức, những vấn đề về đa thức bất khả qui, đa thức nguyên tố cùng nhau, ... liên quan với nghiệm

của đa thức. Xin nhắc lại rằng, riêng đối với một vành đa thức trên một trường K, K[x] luôn luôn

là một vành Ơclít. Và vì vậy khi xử lý các bài tập trong vành đa thức, các kết quả, tính chất của

vành Ơclit (và do đó cả của vành chính) thường được áp dụng khá hiệu quả. Ta cũng không quên

nhắc tới một kết quả cũng rất hay được sử dụng trong vành đa thức thường được biết dưới cái

tên "định lý Bezout", đó là vành đa thức f(x) chia hết cho đa thức bậc nhất g(x) khi và chỉ khi

nghiệm của g(x) là nghiệm của f(x). Hơn nữa khi xử lý các bài toán trong các vành đa thức cụ

thể, ta cũng cần tới các tri thức cụ thể của các vành đó; đặc biệt là với các vành đa thức trên các

trường số : C[x], R[x], Q[x], mà việc hệ thống lại xin phép được dành cho độc giả.

Ví dụ 1: Cho g(x), f(x) ∈ C[x] là các đa thức khác 0. Chứng minh rằng f(x), g(x) là nguyên

tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng không có nghiệm chung nào.

GIẢI

Nếu f(x), g(x) không nguyên tố cùng nhau, ắt tồn tại h(x) với deg(h) ≥ 1 sao cho (f(x), g(x)) =

h(x).

Theo định lý cơ bản của đại số, do deg(h) ≥ 1 nên h(x) có ít nhất một nghiệm phức x0. Hiển

nhiên x0 là nghiệm chung của cả f(x) và g(x).

Ngược lại, nếu f(x) và g(x) có chung nghiệm x0. Theo định lý Bezout cả f(x) và g(x) có chứa

chung nhân tử (x − x0), nên (f(x), g(x)) 6= 1.

Vậy (f(x), g(x)) = 1 ⇔ f(x), g(x) không có nghiệm chung

1