Tài liệu Lý thuyết mạch - Chương 5 docx

___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc

hai -

___________________________________________________________________________ LÝ THUYẾT

1

Ò CHƯƠNG 5

MẠCH ĐIỆN BẬC HAI

Ò MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỬ NĂNG LƯỢNG (L&C)

Ò LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI

Ô Đáp ứng tự nhiên

Ô Đáp ứng ép

Ô Đáp ứng đầy đủ

Ô Điều kiện đầu và điều kiện cuối

Ò TÍNH CHẤT VÀ Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CÁC ĐÁP ỨNG

Ô Đáp ứng tự nhiên

Ô Đáp ứng ép

Ò ĐÁP ỨNG ÉP ĐỐI VỚI est

Trong chương trước chúng ta đã xét mạch đơn giản , chỉ chứa một phần tử tích trữ

năng lượng (L hoặc C), và để giải các mạch này phải dùng phương trình vi phân bậc nhất.

Chương này sẽ xét đến dạng mạch phức tạp hơn, đó là các mạch chứa hai phần tử tích

trữ năng lượng và để giải mạch phải dùng phương trình vi phân bậc hai.

Tổng quát, mạch chứa n phần tử L và C được diễn tả bởi phương trình vi phân bậc n. Tuy

nhiên để giải các mạch rất phức tạp này, người ta thường dùng một phương pháp khác: Phép

biến đổi Laplace mà ta sẽ bàn đến ở một chương sau.

5.1 MẠCH ĐIỆN VỚI HAI PHẦN TỬ TÍCH TRỮ NĂNG

LƯỢNG (L&C)

Thí dụ 5.1: Xác định i2 trong mạch (H 5.1)

Viết phương trình vòng cho mạch

1 2 g

1 12 4

dt

d2 i i v

i

+ − = (1)

(H 5.1)

4 0

dt

d 4 2

2 − 1 + + i = i i (2)

Từ (2): 4 ) dt

d

(

4

1

2

2

1 i i i = + (3)

Lấy đạo hàm (3)

) d 4

dt

d

(

4

1

dt

d 2

2

2

2

1

dt

i i i = + (4)

Thay (3) và (4) vào (1) ta được phương trình để xác định i2

2 g

2

2

2

2

16 2

dt

d 10

dt

d i v

i i

+ + = (5)

Phương trình để xác định i2 là phương trình vi phân bậc 2 và mạch (H 5.1), có chứa 2 phần

tử L và C, được gọi là mạch bậc 2.

Nguyễn Trung Lập

MẠCH

(H 5.2)

Cũng có những ngoại lệ cho những mạch chứa

2 phần tử tích trữ năng lượng nhưng được diễn tả bởi

các phương trình vi phân bậc 1. Mạch (H 5.2)

___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc

hai -

2

Chọn O làm chuẩn, viết KCL cho nút v1 và v2:

1 g

1

dt

d

v v

v

+ = (6)

2 g

2 2 2

dt

d

v v

v

+ = (7)

(6) và (7) là 2 phương trình vi phân bậc 1, mỗi phương trình chứa 1 ẩn số và

không phụ thuộc lẫn nhau.

Ở mạch (H 5.2) vì cùng một nguồn vg tác động lên hai mạch RC nên ta có thể thay

mạch này bằng hai mạch, mỗi mạch gồm nguồn vg và một nhánh RC, đây là 2 mạch bậc 1 , do

đó phương trình cho mạch này không phải là phương trình bậc 2.

5.2 LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI

Dạng tổng quát của phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số là hằng số

a y F(t) dt

dy a

dt

d y

2 1 0

2

+ + = (5.1)

a1, a0 là các hằng số thực, dương, y thay cho dòng điện hoặc hiệu thế và F(t) là một hàm tùy

vào nguồn kích thích.

Ap dụng cho mạch (H 5.1) thì a1 = 10, a0 = 16, y = i2 và F(t) =2vg

Nghiệm của phương trình (5.1) gồm 2 thành phần:

- Nghiệm tổng quát của phương trình không vế 2, chính là đáp ứng tự nhiên yn

- Nghiệm riêng của phương trình có vế 2, chính là đáp ứng ép yf:

y=yn+yf (5.2)

* Đáp ứng tự nhiên yn là nghiệm của phương trình:

a y 0

dt

dy a

dt

d y

0 n

n

2 1

n

2

+ + = (5.3)

* Đáp ứng ép yf là nghiệm của phương trình:

a y F(t) dt

dy a

dt

d y

0 f

f

2 1

f

2

+ + = (5.4)

Cộng vế với vế của (5.3) và (5.4):

a (y y ) F(t) dt

d(y y ) a

dt

d (y y )

0 n f

n f

2 1

n f

2

+ + = +

+

+ (5.5)

(5.5) kết hợp với (5.2) cho thấy nghiệm của phương trình (5.1) chính là y=yn+yf

5.2.1 Đáp ứng tự nhiên

Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình (5.3)

yn có dạng hàm mũ: yn=Aest (5.6)

Lấy đạo hàm (5.6), thay vào (5.10), ta được

As2

e

st+Aa1sest+Aa0e

st=0

Aest(s2

+a1s+a0)=0

Vì Aest không thể =0 nên

s

2

+a1s+a0=0 (5.7)

(5.7) được gọi là phương trình đặc trưng, có nghiệm là:

2

a a 4a

s 0

2

1 1

1,2

− ± − = (5.8)

___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT

Ứng với mỗi trị của s ta có một đáp ứng tự nhiên:

MẠCH