Tài liệu LÝ THUYẾT & BÀI TẬP TOPO doc

1

BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ

Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

(Tài liệu mang ơnh chất tham khảo – hƩp://nguyenchiphuong.WordPress.com)

A .LÝ THUYẾT

§3. Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô (ܺ, ߬)

1. Nếu ܣ ܺ ⊃ có tập con liên thông B trù mật (ܣ ⊃ ܤത) thì A liên thông.

2. Nếu ܣ ܺ ⊃ ௜liên thông ∀݅ ∈ ܫ và ⋂௜∈ூ ܣ ∅ =/ ௜thì ⋃௜∈ூ ܣ௜

liên thông.

3. Giả sử A có ơnh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”.

Khi đó A liên thông.

4. Nếu X liên thông và ݂: ܺ → ܺ′ liên tục thì ݂(ܺ) liên thông.

Lưu ý:

 Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ (ܣ (஺߬ ,vào ܻ với ܻ = {ݕଵ, ݕଶ

} là không

gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông. Do đó ta chỉ đi

xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ (ܣ஺߬ ,

) vào ܻ liên tục và khảo sát sự liên thông của

tập A

 f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thông

Chứng minh:

Gọi ܻ = {ݕଵ

ଶݕ ,

} là không gian Tôpô rời rạc

1. Nếu ࡭ ⊃ ࢄ có tập con liên thông B trù mật (࡭ ⊃ ࡮ഥ) thì A liên thông.

Thật vậy:

Xét ánh xạ ݂: (ܣ஺߬ ,

) → ܻ liên tục.

Do ܤ ⊃ ܣ nên ∃݂|஻: (ܤ ܻ → (஻߬ ,liên tục, mà ܤ liên thông nên ݂|஻ là ánh xạ hằng trên B

ଵݕ = (ݔ)݂ ⇒

ܤ ∋ ݔ∀,

Lại có B trù mật trong A nên ∀ݔ ∋ ܣ ⇒ ݔ ∋ ܤത ⇒ ∃{ݔఈ

ݔ → ఈݔ :ܤ ⊃ {

Mà ݂ liên tục nên ݂(ݔఈ) → ݂(ݔ∀ ,(ݔ ∋ ܣ) 1)

Hơn nữa ݂(ݔఈ

ଵݕ = (

(2) (ߙ∀ ,ܤ ∋ ఈݔ do(

Từ (1) và (2) suy ra ݂(ݔ = (ݕଵ

,∀ݔ ∋ ܣ hay ݂ là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông

࢏࡭ࡵ∋࢏⋃ thì ≠ ∅ ࢏࡭ ࡵ∋࢏⋂ và ࡵ ∋ ࢏∀ thông liên ࢄ ⊃ ࢏࡭ Nếu. 2

liên thông.

Thật vậy:

Xét ánh xạ ݂: ⋃௜∈ூ ܣ ܻ → ௜liên tục.