Tài liệu Các phương pháp tính tổng và Bất đẳng thức tổng docx

Các bài toán tính tổng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi hay các kì thi vào

các trường phổ thông chuyên dưới nhiều hình thức khác nhau, ví dụ như Số Học, Bất Đẳng

Thức và đôi khi cũng là các bài tóan tính tổng trực tiếp.

Để giúp cho bạn đọc có một cái nhìn tổng quan hơn về cách tính tổng của một dãy , mục

chuyên đề này được viết ra bao gồm các phương pháp tính tổng và chứng minh một số bất

đẳng thức tổng thông dụng

A.Các dạng tổng thường gặp.

Trước hết chúng ta điểm qua một số tổng thường gặp:

i) Tổng đa thức:

2 2 2

1 2 3 ...

1 2 ...

n

n

+ + + +

+ + +

1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ + ... n n. !

…

ii) Tổng phân thức:

1 2

...

2! 3! ( 1)!

n

n

+ + +

+

1 1 1

...

1.2 2.3 (n n 1)

+ + +

-

2 2 2

1 1 1

...

1 2

...

n

+ + +

iii) Tổng căn thức:

1 1 1

...

2 1 1 2 3 2 2 3 (n 1) 1 n n n

+ + +

+ + + + +

1 1 1

....

1 3 5 7 4 1 4 3

....

k k

+ + +

+ + + + +

B. Một số phương pháp tính tổng:

i) Phương pháp quy nạp.

Các bạn có thể xem xét thêm trong mục “phương pháp quy nạp”. Ở đây phương pháp quy nạp

được sử dụng khi bạn đã dự đóan trước được kết quả của tổng cần tính.

Ví dụ như việc tính tổng

( 1) 1 2 3 ...

2

n n

n

+

+ + + + = quen thuộc, các bạn có thể dự đóan kết quả

và quy nạp một cách dễ dàng.

Tuy nhiên đối với tổng 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + + ... n thì khó hơn nhiều. Việc dự đoán kết quả bắt đầu

khó khăn, ta nên lập một bảng số liệu để xem xét vấn đề được rõ ràng hơn

n 1 2 3 4 5 ……..

1+ 2 + + ... n 1 3 6 10 15 ……..

2 2 2 1 + 2 + + ... n 1 5 14 30 55 ……..