Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tài liệu Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH ppt
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC
Bài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999)
Tam giác ABC thoả:
cos cos cos 1
2
a Ab Bc C
abc
+ + = + + .
Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải.
Cách 1.
cos cos cos 1
2
a Ab Bc C
abc
+ + = + +
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos
2 2 2
B C
⇔ 8sin
2
A sin
2
B sin
2
C = 1⇔
A
⇔ 4sin
2
A
cos cos
2 2
⎛ ⎞ B − + C BC ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 1 ⇔ 2 4sin 4cos sin 1 0
2 22
A BC A − − + = ⇔
⇔
2
2 2sin cos 1 cos 0
22 2
⎛ ⎞ A BC BC − − ⎜ ⎟ − +− = ⎝ ⎠ ⇔
cos 1
2
1 sin
2 2
B C
A
⎧ − = ⎪⎪
⎨
⎪ = ⎪⎩
⇔ B = C, A = 3
π .
Cách 2.
cos cos cos 1
2
a Ab Bc C
abc
+ + = + +
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos
2 2 2
B C
⇔ 8sin
2
A sin
2
B sin
2
C = 1(1) A
Ta chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin 2
A sin
2
B sin
2
C 1. Dấu đẳng
thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
≤
8sin
2
A sin
2
B sin
2
C ≤ 1⇔ ⇔ 4sin
2
A
cos cos
2 2
⎛ ⎞ B − + C BC ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ≤ 1
⇔ 2 4sin 4cos sin 1 0
2 22
A BC A − − + ≥ ⇔
2
2 2sin cos 1 cos 0
22 2
⎛ ⎞ A BC BC − − ⎜ ⎟ − +− ≥ ⇔ ⎝ ⎠
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi
cos 1
2
1 sin
2 2
B C
A
⎧ − = ⎪⎪
⎨
⎪ = ⎪⎩
⇔ B = C, A = 3
π .
Cách 3.
cos cos cos 1
2
a Ab Bc C
abc
+ + = + +
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
Ta chứng minh sin2A + sin2B + sin2C ≤ sinA + sinB + sinC (2)
1