Sự liên tục và sự khả vi của hàm hai biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN HUỲNH KHÁNH VÂN

SỰ LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA

HÀM HAI BIẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng, N˚am 2018

Lời cám ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với (thầy) TS. Lê Hoàng Trí, người đã

hướng dẫn tôi tận tình trong suốt thời gian thực hiện đề tài.

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Đặc biệt, tôi xin chân thành cám ơn bạn bè khóa 14ST đã động viên giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Đà Nẵng, tháng 4 n˚am 2018

Tác giả

Nguyễn Huỳnh Khánh Vân

ii

Mục lục

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1 - Định nghĩa và tính chất về sự liên tục của hàm hai biến 5

1.1 Một số khái niệm và kết quả về không gian metric . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Vị trí tương đối giữa một điểm đối với một tập . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Phần trong, bao đóng của một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Định nghĩa và tính chất về sự liên tục của hàm hai biến . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Tính liên tục của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 2 - Định nghĩa và tính chất về sự khả vi của hàm hai biến 21

2.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Đạo hàm riêng của hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Vi phân của hàm số hai biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 Tính bất biến của dạng vi phân( hay vi phân của hàm số hợp) . . 29

1