Sóng mặt và sóng trong các cấu trúc mỏng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CƠ HỌC

——————– * ———————

NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH

SÓNG MẶT VÀ SÓNG

TRONG CÁC CẤU TRÚC MỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

HÀ NỘI, 2013

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CƠ HỌC

——————– * ———————

NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH

SÓNG MẶT VÀ SÓNG

TRONG CÁC CẤU TRÚC MỎNG

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 62 44 21 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS Phạm Chí Vĩnh

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa

học của PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong

quá trình nghiên cứu và thổi vào tâm hồn tôi niềm đam mê khoa học. Tôi

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.

Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ

nhiệm Khoa Cơ khí, Ban chủ nhiệm Bộ môn Cơ học kỹ thuật và các đồng

nghiệp - Trường Đại học Thủy lợi đã động viên, khuyến khích và tạo mọi

điều kiện cho tôi hoàn thành luận án này.

Tôi xin chân thành cảm ơn tới Khoa Đào tạo sau đại học – Viên Cơ

học và các bạn trong nhóm sermina của Thầy Vĩnh đã hướng dẫn, chia sẻ

kinh nghiệm, tạo điều kiện tốt cho tôi trong quá trình làm luận án.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình đã động viên

ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Khánh Linh

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu

và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Khánh Linh

ii

Mục lục

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . vi

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Sóng mặt Rayleigh: Sự phát triển và các thành tựu . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Phương trình tán sắc của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Công thức vận tốc sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Sóng trong bán không gian phủ một lớp mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Sóng trong cấu trúc lớp mỏng tuần hoàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Mục tiêu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chương 2. SÓNG MẶT RAYLEIGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng, không nén

được, chịu tác dụng của trọng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2. Các công thức chính xác của vận tốc sóng mặt Rayleigh . . 16

2.1.3. Các công thức vận tốc xấp xỉ của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . 22

2.1.4. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

iv

2.2. Sóng Rayleigh trong bản mỏng đàn hồi trực hướng,

bán vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Các sóng chính Rayleigh trong bản mỏng

đàn hồi trực hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1.1. Phương trình tán sắc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1.2. Công thức vận tốc chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1.3. Công thức vận tốc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Sóng không chính Rayleigh trong lớp mỏng

đàn hồi trực hướng, bán vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.2. Phương trình tán sắc dạng tường minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.3. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chương 3. SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI NẰM DƯỚI LỚP NƯỚC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1. Phương trình tán sắc chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2. Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3. Các phương trình tán sắc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. Các công thức vận tốc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Hai đại lượng δ và ε đều nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2. Chỉ ε là nhỏ và δ tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.3. Các xấp xỉ toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Chương 4. SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN

ĐÀN HỒI PHỦ LỚP MỎNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1. Bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng . . 60

4.1.1. Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.2. Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.3. Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.4. Công thức vận tốc xấp xỉ bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

v

4.2. Bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng

72

4.2.1. Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2. Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.3. Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3. Bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ lớp mỏng . . . . . 79

4.3.1. Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.2. Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.3.1. Trường hợp không có ứng suất trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.3.2. Trường hợp biến dạng trước đẳng hướng trong mặt phẳng 89

4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Chương 5. SÓNG TRONG CẤU TRÚC MỎNG

TUẦN HOÀN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1. Sóng SH trong môi trường vô hạn phân lớp tuần hoàn, các lớp đều

mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.1. Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.2. Khai triển tiệm cận nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.3. Xác định Ωi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.1.3.1. Công thức tính Ω1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.1.3.2. Công thức tính Ω3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.4. Công thức truy hồi tính Ω2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2. Sóng Lamb trong môi trường vô hạn phân lớp tuần hoàn không nén

được có biến dạng trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.1. Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.2. Phương trình tán sắc dạng tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.3. Công thức tính Ωk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.4. Công thức truy hồi tính Ω2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.5. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

σij các thành phần ứng suất

ui các thành phần chuyển dịch

c vận tốc sóng

k số sóng

h độ dày của lớp

ε độ dày không thứ nguyên của lớp

g gia tốc trọng trường

λ, µ các hằng số Lame

c2 =

p

µ/ρ vận tốc sóng ngang

cij các hằng số vật liệu

t thời gian

ρ mật độ khối lượng

p áp suất thủy tĩnh

∂

2 ∂

2/∂x2

1

∂

2

t ∂

2/∂t2

∂1 ∂/∂x1

γ µ/(λ + 2µ)

. đạo hàm theo biến thời gian

vi

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG

Hình 2.1 Mô hình bài toán 14

Hình 2.2 Đồ thị của hàm φ(x) được biểu diễn bằng phương

trình (2.20)

17

Hình 2.3 Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh vào các

tham số trọng trường δ.

20

Hình 2.4 Vận tốc chính xác xr, các vận tốc xấp xỉ x1, x2 23

Hình 2.5 Mô hình bài toán sóng chính Rayleigh 25

Hình 2.6 Sự phụ thuộc của x vào b1 ∈ [0, 0.5]. 31

Hình 2.7 Sự phụ thuộc của x vào b2 ∈ [0.1, 0.9]. 31

Hình 2.8 Sự phụ thuộc của x theo b3 ∈ [0.5, 4] 31

Hình 2.9 Mô hình bài toán sóng không chính Rayleigh 32

Hình 2.10 Sự phụ thuộc của √

x = cR/

p

B66/ρ vào góc chỉ

phương θ của các hướng vật liệu chính của vật liệu

SE84LV

40

Hình 2.11 Sự phụ thuộc của √

x = cR/

p

B66/ρ vào góc chỉ

phương θ của các vật liệu chính đối với vật liệu

Fibredux

40

Hình 2.12 Sự phụ thuôc của √

x = cR/

p

B66/ρ vào góc chỉ

phương θ của các trục vật liệu chính cho vật liệu

Boron-Epoxy

40

Hình 2.13 Sự phụ thuộc của √

x = cR/

p

B66/ρ vào góc chỉ

phương θ của các trục vật liệu chính cho vật liệu

α-Fe

40

Hình 3.1 Mô hình bài toán 43

Hình 3.2 Các đồ thị của x(δ, 0.04) được vẽ từ (3.48), từ

(3.61), (3.62) và từ (3.28)

56

Hình 3.3 Đồ thị của x(ε, 0.04) 57

Hình 4.1 Mô hình bài toán 60

Hình 4.2 Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh không thứ

nguyên √

x = c/c2 vào ε = k.h

69

vii

viii

Hình 4.3 Mô hình bài toán 72

Hình 4.4 Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh không thứ

nguyên vào ε

79

Hình 4.5 Mô hình bài toán 79

Hình 4.6 Sự phụ thuộc của vận tốc không thứ nguyên x vào ε 91

Hình 5.1 Mô hình bài toán sóng SH 94

Hình 5.2 Mô hình bài toán sóng Lamb 103

Bảng 2.1 Các giá trị của √

x = cR/cT (cT =

p

B66/ρ) tương

ứng với các vật liệu được đề cập trong [21]

30

MỞ ĐẦU

Tính thời sự của đề tài luận án

Các bài toán truyền sóng trong các môi trường đàn hồi [5], [11], [18],

[40], nổi bật là sóng mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng

khác nhau trong khoa học và công nghệ.

Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén

được, mà Rayleigh [64] tìm ra hơn 120 năm trước, vẫn đang được nghiên

cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh

vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa

vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những

nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán không gian đàn hồi

có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó được sử dụng để nghiên

cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ...,

như Adams và các cộng sự [8] đã nhấn mạnh. Đã có một số lượng nghiên

cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Như đã viết trong [93], Google Scholar,

một trong những công cụ tìm kiếm tài liệu khoa học mạnh nhất, cho chúng

ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết

quả này thật đáng kinh ngạc! Nó chỉ ra rằng, lĩnh vực nghiên cứu sóng

mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, và đang được sự quan tâm rất

lớn của các nhà khoa học trên thế giới.

Có thể nói rằng cấu trúc lớp mỏng đặt trên bán không gian đã và đang

được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Do vậy, việc đánh giá

không phá hủy các tính chất cơ học của chúng, trước và trong quá trình

sử dụng là quan trọng và có nhiều ý nghĩa [45]. Chú ý rằng có một tạp

chí lớn “Thin Solid Films” dành riêng công bố các kết quả nghiên cứu liên

quan đến cấu trúc lớp mỏng này. Để đánh giá không phá hủy các tính

1

2

chất cơ học của lớp và bán không gian, sóng mặt Rayleigh là công cụ tiện

lợi [39]. Khi đó, phương trình tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ

sở lý thuyết để chắt lọc ra (xác định) các tính chất cơ học của cấu trúc từ

các dữ liệu (các giá trị của vận tốc sóng) đo được trong thực nghiệm.

Ngày nay, vật liệu composite, đặc biệt là composite cốt sợi, ngày càng

được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau, như chế

tạo máy bay, tàu thủy, ô-tô... Để tạo ra chẳng hạn vỏ tầu thủy, các lớp cốt

sợi (rất mỏng) với các góc định vị khác nhau, được dán với nhau một cách

tuần hoàn, bằng nhựa êpôxy (chẳng hạn), đến một độ dầy cho trước. Như

vậy, có thể xem vỏ tầu thủy (vỏ máy bay,. . . ) là một lớp dầy chứa một số

rất lớn các nhân tuần hoàn, mà mỗi nhân này chứa một số lớp vật liệu

khác nhau (tương ứng với góc định vị khác nhau của cốt sợi). Nếu độ dầy

của lớp lớn hơn nhiều so với bước sóng của sóng truyền vào lớp (để xác

định các tính chất cơ học của lớp vật liệu composite này), thì lớp vật liệu

composite có thể xem như một “môi trường vô hạn có cấu trúc mỏng tuần

hoàn”. Do đó bài toán truyền sóng trong các cấu trúc này rất cần được

nghiên cứu và được sự quan tâm chú ý của nhiều tác giả [18], [40], [57].

Định hướng nghiên cứu

1. Áp dụng các công cụ mới để phát triển kết quả một số bài toán đã

được nghiên cứu trước đây về sóng mặt Rayleigh.

2. Xây dựng các phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong các

bán không gian phủ một lớp mỏng.

3. Nghiên cứu sóng SH và sóng Lamb trong các cấu trúc mỏng tuần hoàn

có ứng suất trước, cụ thể là mở rộng kết quả của Noris và Santosa [57].

Đối tượng nghiên cứu

Sóng trong các bán không gian đàn hồi, sóng trong các bán không gian

được phủ các lớp mỏng, sóng trong các cấu trúc tuần hoàn.

Phạm vi nghiên cứu

Tìm ra các phương trình tán sắc chính xác và xấp xỉ, các công thức

vận tốc sóng.

3

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phương trình bậc ba, phương pháp bình phương tối thiểu,

phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và phương pháp tích phân đầu.

Cấu trúc luận án

Chương 1: Tổng quan

Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về sóng

mặt và sóng trong các cấu trúc mỏng.

Chương 2: Sóng mặt Rayleigh

Áp dụng các phương pháp mới để tìm ra các kết quả mới của một số bài

toán được nghiên cứu trước đây về sóng mặt Rayleigh.

Chương 3: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi nằm dưới

lớp nước

Khảo sát bài toán tổng quát (khi độ dầy của lớp và ảnh hưởng của trọng

trường là tùy ý) của bài toán mà Bromwich [20] (giả thiết rằng lớp nước

là mỏng (nông) và ảnh hưởng của trọng trường là nhỏ) đã khảo sát.

Chương 4: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp

mỏng

Tìm phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán không gian

đàn hồi trực hướng (nén được, không nén được) phủ lớp mỏng trực hướng

(nén được, không nén được) và trong bán không gian đàn hồi có ứng suất

trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước.

Chương 5: Sóng trong cấu trúc mỏng tuần hoàn

Nghiên cứu sóng SH trong môi trường phân lớp tuần hoàn đẳng hướng nén

được, và sóng Lamb trong môi trường đàn hồi đẳng hướng không nén được

có ứng suất trước phân lớp tuần hoàn. Chương này là sự mở rộng nghiên

cứu của Norris và Santosa [57].