Số bernoulli và đa thức bernoulli

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN NGỌC THIÊM

SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN NGỌC THIÊM

SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2017

i

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Một số quy ước và kí hiệu 2

Mở đầu 2

1 Số Bernoulli 4

1.1 Khái niệm về số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Khai triển của số Bernoulli và tính chất . . . . . . . . . 4

1.3 Phương pháp tính số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Tính số Bernoulli bằng định nghĩa . . . . . . . . 12

1.3.2 Tính số Bernoulli bằng phương pháp truy hồi . . 13

1.3.3 Tính số Bernoulli thông qua tổng kép . . . . . . . 13

2 Đa thức Bernoulli 15

2.1 Khái niệm về đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Tính chất của đa thức Bernoulli và đa thức Bernoulli

tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Tính chất của đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Tính chất của đa thức Bernoulli tổng quát . . . . 20

3 Một số bài toán sơ cấp ứng dụng dãy số Bernoulli và đa

thức Bernoulli 27

3.1 Ứng dụng trong tính tổng các phần tử của dãy số . . . . 27

3.1.1 Tổng các lũy thừa bậc k các số tự nhiên . . . . . 27

3.1.2 Tổng đan dấu lũy thừa các số tự nhiên . . . . . . 30

3.2 Ứng dụng trong tính tổng Euler-Maclaurin . . . . . . . . 32

3.3 Ứng dụng trong tổng của chuỗi điều hòa và hằng số

Euler-Mascheroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 Tổng của chuỗi điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2 Tính hằng số Euler-Mascheroni . . . . . . . . . . 37

3.4 Ứng dụng trong tổng của chuỗi Zeta và hàm Zeta . . . . 38

i

3.4.1 Tổng của hàm Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2 Tính giá trị hàm Riemann Zeta . . . . . . . . . . 41

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

1

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nông Quốc

Chinh, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và

hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết

vấn đề... nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình.

Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công

lao của Thầy.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường

Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ

tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy

cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy,

trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và

đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu và hoàn thành luân văn.

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè và những

người thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Những người luôn động

viên, chia sẽ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc

biệt là trong thòi gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học

Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Thiêm