Slide bài giảng xác suất thống kê

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang 1

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

(ðại học và Cao ñẳng)

Tài liệu tham khảo:

1. Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Nguyễn Phú Vinh – NXB Thống kê.

2. Ngân hàng câu hỏi Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – ðHCN TP.HCM.

3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục.

4. Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán – Nguyễn Thanh Sơn, Lê Khánh Luận – NXBTKê.

5. Xác suất – Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – ðậu Thế Cấp – NXB Giáo dục.

6. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục.

7. Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục.

8. Xác suất và Thống kê – ðặng Hấn – NXB Giáo dục.

9. Giáo trình Xác suất và Thống kê – Phạm Xuân Kiều – NXB Giáo dục.

10. Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê Toán–Nguyễn Cao Văn–NXB Ktế Quốc dân.

PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

BỔ TÚC ðẠI SỐ TỔ HỢP

1. Tính chất các phép toán ∩, ∪

a) Tính giao hoán:

A B B A ∩ ∩ = , A B B A ∪ ∪ = .

b) Tính kết hợp:

(A B) C A (B C) ∩ ∩ ∩ ∩ = ,

(A B) C A (B C) ∪ ∪ ∪ ∪ = .

c) Tính phân phối:

A (B C) (A B) (A C) ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ,

A (B C) (A B) (A C) ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ = .

d) Tính ñối ngẫu (De–Morgan):

A B A B ∩ ∪ = , A B A B ∪ ∩ = .

2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào ñó ñược chia thành k giai

ñoạn. Có n1 cách thực hiện giai ñoạn thứ 1, có n2 cách

thực hiện giai ñoạn thứ 2,..., có nk cách thực hiện giai

ñoạn thứ k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách thực hiện

toàn bộ công việc.

3. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện ñược k cách

(trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết

quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk

kết quả. Khi ñó việc thực hiện công việc trên cho

m = m1 + m2 + … + mk kết quả.

4. Mẫu lặp, mẫu không lặp

− Mẫu không lặp: các phần tử của mẫu chỉ có mặt một

lần (các phần tử khác nhau từng ñôi một).

− Mẫu có lặp: các phần tử của mẫu có thể lặp lại nhiều

lần trong mẫu.

− Mẫu không thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác

nhau của mẫu ta không nhận ñược mẫu mới.

− Mẫu có thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác

nhau của mẫu ta nhận ñược mẫu mới.

5. Các công thức thường dùng

5.1. Hoán vị

ðịnh nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ

tự gồm ñủ mặt n phần tử ñã cho. Số hoán vị của n phần

tử ñược ký hiệu là Pn

, P n!

n = .

5.2. Chỉnh hợp lặp (có thứ tự)

ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp lặp k của n phần tử (k n) ≤ là

một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử không nhất thiết

khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. Số các chỉnh hợp

lặp k của n phần tử là nk

.

5.3. Chỉnh hợp (mẫu không lặp, có thứ tự)

ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k n) ≤ là

một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử khác nhau chọn

từ n phần tử ñã cho. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử

ký hiệu là k An

.

k

n

n! A n(n 1)...(n k 1)

(n k)!

= − − + =

−

.

5.4. Tổ hợp (mẫu không lặp, không có thứ tự)

ðịnh nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử (k n) ≤ là

một nhóm (bộ) không phân biệt thứ tự gồm k phần tử

khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho.

Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là k Cn

và

( )

k

n

n! C

k! n k !

=

−

. Quy ước: 0! = 1.

Tính chất:

k n k C C n n

− = ; k k 1 k C C C n n 1 n 1

− = + − −

.

----------------------------------------------

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang 2

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT

§1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1.1. Phép thử và biến cố

• Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sát

một hiện tượng nào ñó ñể xem có xảy ra hay không.

Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử ñược gọi

là biến cố ngẫu nhiên.

Biến cố ngẫu nhiên thường ñược ký hiệu A, B, C…

VD 1. + Tung ñồng tiền lên là một phép thử, biến cố là

“mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”.

+ Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lô hàng ñể

kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn ñược sản phẩm

tốt” hay “chọn ñược phế phẩm”.

+ Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảy

mầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”.

1.2. Các loại biến cố

a) Không gian mẫu và biến cố sơ cấp

• Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể

xảy ra ñược gọi là không gian mẫu ký hiệu là Ω .

• Mỗi phần tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến

cố ñược gọi là biến cố sơ cấp.

VD 2. Xét phép thử gieo 3 hạt lúa.

Gọi Ai

là biến cố “có i hạt nảy mầm” (i = 0, 1, 2, 3).

Khi ñó các Ai

là các biến cố sơ cấp và

Ω = {A0, A1, A2, A3}.

Gọi B là “có ít nhất 1 hạt nảy mầm” thì B không là

biến cố sơ cấp.

b) Biến cố chắc chắn và biến cố không thể

• Trong một phép thử, biến cố nhất ñịnh xảy ra là chắc

chắn, ký hiệu là Ω .

• Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra khi thực

hiện phép thử, ký hiệu ∅ .

VD 3.

Từ một nhóm có 6 nam và 4 nữ chọn ra 5 người.

Khi ñó, biến cố “chọn ñược 5 người nữ” là không thể,

biến cố “chọn ñược ít nhất 1 nam” là chắc chắn.

c) Số trường hợp ñồng khả năng

• Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng

xảy ra như nhau ñược gọi là ñồng khả năng.

• Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp ñều ñồng

khả năng thì số phần tử của không gian mẫu ñược gọi

là số trường hợp ñồng khả năng của phép thử.

VD 4.

Gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp ñể kiểm tra thì

mỗi học sinh trong lớp ñều có khả năng bị gọi như nhau.

d) Các phép toán

• Tổng của A và B là C, ký hiệu C A B = ∪ hay

C = A + B, xảy ra khi ít nhất 1 trong hai biến cố A, B

xảy ra.

VD 5. Bắn hai viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi A1: “viên thứ

nhất trúng bia”, A2: “viên thứ hai trúng bia” và

C: “bia bị trúng ñạn” thì C A A = 1 2 ∪ .

• Tích của A và B là C, ký hiệu C AB A B = = ∩ , xảy

ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra.

VD 6.

Một người chọn mua áo. Gọi A: “chọn ñược áo màu

xanh”, B: “chọn ñược áo sơ–mi” và

C: “chọn ñược áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB.

VD 7.

Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong 1 lô ra kiểm tra. Gọi

Ai

: “chọn ñược linh kiện thứ i tốt” và

C: “chọn ñược 10 linh kiện tốt” thì

10

1 2 10 i

i 1

C A A ... A A

=

= = ∩ ∩ ∩ ∩ .

• Phần bù của A, ký hiệu:

A \ A A = Ω = ω ∈ Ω ω ∉ { } .

VD 8.

Bắn lần lượt 2 viên ñạn vào 1 tấm bia.

Gọi Ai

: “có i viên ñạn trúng bia” (i = 0, 1, 2),

B: “có không quá 1 viên ñạn trúng bia”.

Khi ñó B A = 2

, A A 0 2 ≠ và A A 1 2 ≠ .

1.3. Quan hệ giữa các biến cố

a) Biến cố xung khắc

• Hai biến cố và B ñược gọi là xung khắc nếu chúng

không ñồng thời xảy ra trong một phép thử.

• Họ các biến cố A1, A2,…, An ñược gọi là xung khắc

(hay ñôi một xung khắc) khi một biến cố bất kỳ trong họ

xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra.

Nghĩa là A A , i j i j ∩ = ∅ ∀ ≠ .

VD 9. Một hộp có 3 viên phấn màu ñỏ, xanh và trắng.

Chọn ngẫu nhiên 1 viên. Gọi A: “chọn ñược viên màu

ñỏ”, B: “chọn ñược viên màu trắng” và C: “chọn ñược

viên màu xanh” thì A, B, C là xung khắc.

b) Biến cố ñối lập

• Hai biến cố A và B ñược gọi là ñối lập nhau nếu chúng

thỏa mãn 2 ñiều sau:

1) A và B xung khắc với nhau.

2) Phải có ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra.

VD 10. Trồng 1 cây bạch ñàn. Gọi A: “cây bạch ñàn

sống”, B: “cây bạch ñàn chết” thì A và B là ñối lập.

• Họ các biến cố {Ai} (i = 1,…, n) ñược gọi là hệ ñầy ñủ

các biến cố nếu thỏa mãn 2 ñiều sau:

1) Họ xung khắc, nghĩa là A A , i j i j ∩ = ∅ ∀ ≠ .

2) Phải có ít nhất 1 biến cố trong họ xảy ra,

nghĩa là A A ... A 1 2 n ∪ ∪ ∪ = Ω .

VD 11. Họ {A, B, C} trong VD 9 là ñầy ñủ.

Chú ý. Họ {A, A} là ñầy ñủ với biến cố A tùy ý.