Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Rút gọn Hardy cho một số lớp tích phân Liouville của hàm số sơ cấp
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
PHM THÀ DÀU HIN
RÓT GÅN HARDY CHO MËT LÎP
TCH PH N LIOUVILLE
CC HM SÈ SÌ CP
LUN VN THC S TON HÅC
B¼nh ành - N«m 2021
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
PHM THÀ DÀU HIN
RÓT GÅN HARDY CHO MËT LÎP
TCH PH N LIOUVILLE
CC HM SÈ SÌ CP
CHUYN NGNH: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP
M SÈ: 8 46 01 13
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n: PGS.TS. THI THUN QUANG
B¼nh ành - 2021
DANH MÖC CC KÞ HIU
R : V nh vi ph¥n
Q(x) : Tr÷íng c¡c ph¥n thùc vîi h» sè húu t
R(x) : Tr÷íng c¡c ph¥n thùc vîi h» sè thüc
C(x) : Tr÷íng c¡c ph¥n thùc vîi h» sè phùc
(2j − 1)!! = 1.3.5 . . .(2j − 1).
(2j)!! = 2.4 . . .(2j).
(3j − 2)!!! = 1.4.7 . . .(3j − 2).
(3j − 1)!!! = 2.5.8 . . .(3j − 1).
i
Möc löc
Danh möc c¡c kþ hi»u
1 CC HM SÈ SÌ CP V ÀNH LÞ LIOUVILLE 4
1.1 V nh v tr÷íng vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 C¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Mð rëng logarit v mð rëng mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 ành lþ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 C¡c h m sè sì c§p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 ành lþ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Mët sè v½ dö ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 RÓT GÅN HARDY CHO LÎP TCH PH N LIOUVILLE 25
2.1 Mët sè k¸t qu£ chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Rót gån Hardy cho t½ch ph¥n Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Mët sè k¸t qu£ v· rót gån Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 C¡c h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 MËT SÈ P DÖNG 38
3.1 Mët sè d¤ng t½ch ph¥n Liouville °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 C¡c t½ch ph¥n Kiºu Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
T i li»u tham kh£o 46
1
MÐ U
Vi»c k¸t luªn mët t½ch ph¥n cõa mët h m sì c§p câ cán l mët h m sè sì c§p hay
khæng l mët c¥u häi quan trång ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø thíi Newton v Leibniz. Ph¦n
lîn düa tr¶n c¡c cæng tr¼nh cõa Liouville [10], Risch [13], v Rosentlicht [14], r§t nhi·u
ti¸n bë ¢ ¤t ÷ñc v· v§n · n y trong suèt hai th¸ k [1, 2, 3, 4, 7, 9, 16, 17]. Tuy
nhi¶n, câ mët sè lîp t½ch ph¥n r§t ÷ñc håc sinh, sinh vi¶n quan t¥m t½nh to¡n nh÷ng
v¨n ch÷a câ c¥u tr£ líi ho n to n ¦y õ cho c¥u häi n y.
Mët v½ dö trong sè n y l lîp c¡c t½ch ph¥n câ d¤ng
Z
x
r
e
axs
dx,
vîi r, s l c¡c sè nguy¶n. Lîp t½ch ph¥n n y ch½nh x¡c l èi t÷ñng nghi¶n cùu trong
mët tr÷íng hñp °c bi»t sau ¥y cõa mët ành lþ Liouville [10, 11, 13, 14].
ành lþ (Ti¶u chu©n Liouville èi vîi t½ch ph¥n, 1835). Cho f, g l c¡c h m sè
húu t vîi g kh¡c h¬ng sè. Khi â
Z
f(x)e
g(x)
dx
l mët h m sè sì c§p n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i mët h m sè húu t R sao cho R
f(x)e
g(x)dx =
R(x)e
g(x)
, ho°c mët c¡ch t÷ìng ÷ìng
f(x) = R(x)g
0
(x) + R
0
(x).
Ti¶u chu©n n y th÷íng ÷ñc sû döng º cho håc sinh t½nh to¡n v nhªn bi¸t r¬ng
mët sè lîp nh§t ành t½ch ph¥n cê iºn ch¯ng h¤n nh÷
erf(x) = 2
√
π
Z x
0
e
−u
2
du, Li(x) = Z x
2
du
ln u
, Si(x) = Z x
0
sin u
u
, . . .