Quan hệ giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CAO DUY HÙNG

QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM

CỦA ĐA THỨC VÀ

TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

ĐẠO HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CAO DUY HÙNG

QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM

CỦA ĐA THỨC VÀ

TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

ĐẠO HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 0102

Giáo viên hướng dẫn:

PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN, 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm￾Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô

giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị

kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập

và nghiên cứu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng,

người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến

thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi

những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Giới thiệu giả thuyết Sendov 3

1.1 Phát biểu giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Định lý Gaus-Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Lịch sử giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov . . . 15

2 Một số giả thuyết trong hình học đa thức liên quan đến

giả thuyết Sendov 17

2.1 Các khái niệm cơ bản và các giả thuyết liên quan đến giả

thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Các giả thuyết mở rộng hoặc liên quan đến giả thuyết

Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Các kết quả của giả thuyết Sendov trong hình học đa thức . 24

2.2.1 Độ lệch giữa các tập hợp khi biết một nghiệm đặc

biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 Đánh giá độ lệch của A (P) với A

￾

P

(s)

. . . . . . . 28

2.3 Một số trường hợp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Chứng minh giả thuyết Sendov cho các đa thức có

bậc 3 và 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Chứng minh giả thuyết Sendov cho tất cả các đa

thức với số nghiệm không lớn hơn 4 . . . . . . . . . 39

2.3.3 Chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức bậc n ≤ 5 41

Kết luận 43

i

Tài liệu tham khảo 45

iii