PP giải phương trình nghiệm nguyên

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn

Ph¬ng ph¸p 1. ®a ph¬ng tr×nh íc sè

BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: vÕ tr¸i lµ tÝch cña c¸c ®a thøc chøa Èn, vÕ ph¶i lµ

tÝch cña c¸c sè nguyªn.

VD.

T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:

y

3

-x3

= 91 (1)

Lêi Gi¶i.

(1) <=> (y - x)(x2 + xy + y2

) = 91 v× x2 + xy + y2

> 0 víi mäi x, y.

Nªn =>y - x > 0.

MÆt kh¸c 91 = 1.91 = 7.13 vµ (y - x); (x2 + xy + y2

) ®Òu nguyªn d¬ng nªn ta cã 4 kh¶

n¨ng sau:

1) (y - x) = 91 vµ (x2 + xy + y2

) = 1

2) (y - x) = 1 vµ (x2 + xy + y2

) = 91

3) (y - x) = 7 vµ (x2 + xy + y2

) = 13

4) (y - x) = 13 vµ (x2 + xy + y2

) = 7

Gi¶i c¸c hÖ trªn ta sÏ t×m ®îc x, y.

Ph¬ng ph¸p 2. S¾p thø tù c¸c Èn

NÕu c¸c Èn x; y; z cã vai trß b×nh ®¼ng. Ta cã thÓ gi¶ sö x < y < z < ...§Ó t×m

c¸c nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn nµy. Tõ ®ã dïng phÐp ho¸n vÞ ®Ó suy ra c¸c nghiÖm

cña ph¬ng tr×nh ®· cho.

VD.

T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh:

x + y + z = x.y.z (2)

Lêi Gi¶i

Do vai trß b×nh ®¼ng cña x, y, z trong ph¬ng tr×nh nªn ta gi¶ sö x < y < z. V× x,

y, z nguyªn d¬ng nªn x.y.z # 0

Do x < y < z nªn x + y + z = x.y.z < 3.z => x.y < 3 => x.y ∈ {1; 2; 3}.

- NÕu x.y = 1 => x = y =1, Thay vµo (2) ta ®îc 2 + z = z v« lÝ.

- NÕu x.y = 2 => x = 1; y = 2 . Thay vµo (2) ta ®îc x = 3.

- NÕu x.y = 3 => x = 1; y = 3 . Thay vµo (2) ta ®îc x = 2.

VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c ho¸n vÞ cña {1; 2; 3}

VD.

T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh

2

1 1 1

+ + =

x y z

(3)

Lêi Gi¶i.

Do vai trß b×nh ®¼ng cña x, y, z trong ph¬ng tr×nh nªn ta gi¶ sö x < y < z