Phương trình sóng cấp hai một chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

CẤP HAI MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

CẤP HAI MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60 46 01 12

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, 2014

Mục lục

Mở đầu 1

1 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville 3

1.1 Chuỗi Fourier thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Dãy trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi phân cấp

hai trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Phương trình sóng thuần nhất 21

2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp

hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Phương trình sóng một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất trong R . . . . . . 22

2.4 Công thức d’ Alembert của bài toán Cauchy và của các bài toán

biên giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Công thức d’Alembert cho bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 25

2

2.4.2 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên

nửa trục khi một đầu thanh được giữ chặt . . . . . . . . . . 26

2.4.3 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên

nửa trục khi một đầu thanh để tự do . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Công thức d’Alembert của các bài toán biên-giá trị ban đầu trên

nửa trục với các điều kiện biên không thuần nhất . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Dirichlet . . . . . . . . . 30

2.5.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Neumann . . . . . . . . . 30

2.6 Năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 31

2.6.1 Năng lượng của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Phương pháp tách biến giải phương trình sóng thuần nhất trên

khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai

đầu cố định- Bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây . 36

2.8 Một số bài toán biên-giá trị ban đầu khác của phương trình sóng

trên khoảng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.1 Bài toán biên dạng Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.2 Bài toán biên dạng hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.9 Bài toán Goursat đối với phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 48

2.9.1 Một bài toán Goursat cho phương trình sóng . . . . . . . . . 48

2.9.2 Bài toán giá trị ban đầu đặc trưng cho phương trình sóng . 49

2.10 Sóng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Phương trình không thuần nhất- Nguyên lý Duhamel 52

3.1 Nguyên lý Duhamel trong các phương trình không thuần nhất . . . 52

3.1.1 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp một . . . . . . 52

3.1.2 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp hai . . . . . . 53

3.1.3 Nguyên lý Duhamel tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Phương trình sóng không thuần nhất trên trục thực . . . . . . . . . 55

3.3 Phương trình sóng không thuần nhất trên nửa trục thực . . . . . . 57

3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn-Phương

pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.2 Trường hợp điều kiện không biên thuần nhất . . . . . . . . . 64

3

4 Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng 68

4.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . 69

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

4

Mở đầu

Phương trình sóng là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của

lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán. Phương trình sóng rất

đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v.., và thuộc dạng

hyperbolic. Các bài toán đối với các phương trình thuộc dạng hyperbolic thường

là rất khó, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến. Do tính phức tạp

nói trên, nên nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các phương trình

sóng chủ yếu được phát hiện đối với phương trình sóng cấp hai và có số chiều thấp.

Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạng

phương trình sóng tuyến tính cấp hai một chiều. Do đó việc tìm hiểu sâu hơn về

phương trình sóng thông qua phương trình sóng cấp hai một chiều là cần thiết. Đó

chính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận văn này.

Bố cục của luận văn gồm phần Mở đầu, bốn chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo.

Chương 1: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouvill

Chương này trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề được đề cập tới

trong luận văn, đó là vấn đề về chuỗi Fourier và khai triển vào chuỗi Fourier theo

các hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phương

pháp tách biến giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng.

Chương 2: Phương trình sóng thuần nhất

Chương này trình bày về phương trình sóng cấp hai một chiều thuần nhất. Vấn đề

chính của chương này là trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm của bài

toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng cấp

hai trên nửa trục. Tiếp đó, trình bày năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm

của phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên của

phương trình sóng trên khoảng hữu hạn. Vận dụng công thức d’ Alambert, tìm

nghiệm của một số bài toán Goursat đối với phương trình truyền sóng.

Chương 3: Phương trình sóng không thuần nhất-Nguyên lý Duhamel

Chương này trình bày nguyên lý Duhamel giải các phương trình tuyến tính không

thuần nhất trên cơ sở biết công thức nghiệm của phương trình thuần nhất tương

1

ứng. Tiếp đó, trình bày cách giải các phương trình sóng không thuần nhất trên

trục thực, trên nửa trục và trên một khoảng hữu hạn.

Chương 4: Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng

Nội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-6] dưới sự

hướng dẫn tận tình và nghiệm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học,

Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.

Em cũng chân thành cảm ơn tới các thầy cô của Trường Đại học Khoa học, Đại

học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học

khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã

tận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu và

hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Liên

2

Chương 1

Chuỗi Fourier và các bài toán

Sturm-Liouville

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết về chuỗi Fourier đối với các hàm lượng

giác và những ứng dụng giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng

trong miền hữu hạn. Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích ra từ tài

liệu [1].

1.1 Chuỗi Fourier thông thường

1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier

Với hàm f ∈ L

1

[−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta định nghĩa

chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau

a0

2

+

X∞

k=1

(ak cos kx + bk sin kx), (1.1)

trong đó

ak =

1

π

Zπ

−π

f

￾

x

0

cos kx0

dx0

, k = 1, 2, ...

bk =

1

π

Zπ

−π

f

￾

x

0

sin kx0

dx0

, k = 1, 2, ... (1.2)

Chuỗi 1.1 được gọi là chuỗi lượng giác của hàm f(x) và mối quan hệ trên đây

được ký hiệu là

f (x) ∼

a0

2

+

X∞

k=1

(ak cos kx + bk sin kx).

Lưu ý rằng ký hiệu ∼ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơn

giản là nó chỉ mối liên hệ (1.1)- (1.2) mà thôi.