Phương trình parabolic ngược thời gian

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

Tr−êng ®¹i häc vinh

-----------------------

NguyÔn v¨n ®øc

Ph−¬ng tr×nh parabolic ng−îc thêi gian

LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch

M· sè: 62 46 01 01

Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: 1. GS. TSKH. §inh Nho Hµo

2. PGS. TS. §inh Huy Hoµng

Vinh -2011

1

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đinh

Nho Hào và PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tôi xin cam đoan rằng các kết

quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố

trước đó.

Tác giả

Nguyễn Văn Đức

2

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Một số ký hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian

với hệ số không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.1 Một số khái niệm và bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian

bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1 . . 31

1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian

bằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a>1 . . 41

1.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Chương 2 Phương trình parabolic ngược thời gian

với hệ số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1 Các kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2 Hiệu chỉnh bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Chương 3 Các kết quả ổn định cho phương trình

truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2 Phương pháp nhuyễn và kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4 Ví dụ số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

3.5 Kết luận chương 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Kết luận chung và kiến nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

R: đường thẳng thực

R

n

: không gian Euclid n-chiều

C: mặt phẳng phức

<: phần thực của một số phức

Ω: miền của không gian R

n

∂Ω: biên của Ω

h·, ·i: tích vô hướng trong không gian Hilbert H

k · k: chuẩn trong không gian Hilbert H

C([a, b], H): tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên

không gian Hilbert H

C

1

((a, b), H): tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên (a, b) và nhận giá

trị trên không gian Hilbert H

ut

: đạo hàm của hàm u ∈ C

1

((a, b), H)

Lp(Ω) = {u : Ω → R| u đo được Lebesgue, kukLp(Ω) < +∞}

k · kp: chuẩn Lp(R)

F[f](ξ): biến đổi Fourier của hàm f được định nghĩa bởi

F[f](ξ) = fb(ξ) = 1

√

2π

Z

+∞

−∞

f(x)e

−ixξdx

Mν,p(R) (1 6 p 6 ∞) là tập hợp các hàm nguyên dạng mũ ν khi giới hạn

trên trục thực thuộc Lp(R)

Eν,p(f): xấp xỉ tốt nhất của f bởi các phần tử của Mν,p, tức là

Eν,p(f) = inf

g∈Mν,p

kf − gkLp(R)

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

1.1. Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên

xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy

động học, y học, xử lý ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện của

quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng

từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong luận án này, chúng tôi đề cập tới

phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là bài toán cho phương trình

parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó

khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi là

ngược thời gian).

1.2. Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện

trong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời

điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện

tại ([31], [56], [67]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địa

vật lý ([67]). Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tải

của chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm người ta dùng phương

trình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian với

đo đạc ở thời điểm hiện tại ([15]). Phương trình parabolic ngược thời gian

cũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([90]), thủy động

học ([15]), xử lý ảnh ([21], [60], [87]). Các bài toán này đã được nghiên

cứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt; hơn

thế nữa việc đề xuất các phương pháp số hữu hiệu để giải gần đúng các

bài toán này luôn là những vấn đề thời sự.

1.3. Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giả

sử Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều. Ở đây, x là biến

4

5

không gian, còn t là biến thời gian. Giả sử Qt = ∪s∈[0,t]Ω(s), Ω(s) là các

miền giới nội trong R

n

, t ∈ [0, T]. Ta xét bài toán biên sau đây:

ut = Lu(x, t) + F(x, t, u), (x, t) ∈ QT ,

u

¯

¯

t=0 = u0(x), x ∈ Ω0,

Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪s∈[0,T]∂Ω(s)

với B là toán tử điều kiện biên nào đó. Đây là Bài toán thuận thời gian.

Trong thực tế, nhiều khi giá trị của u(x, t) tại thời điểm t = 0 không được

biết, mà ta lại biết giá trị của nó tại t = T và ta phải xác định lời giải của

bài toán khi t ∈ [0, T), đặc biệt là giá trị của u(x, t) tại t = 0, tức giá trị

ban đầu. Đây là Bài toán ngược thời gian và là chủ đề nghiên cứu của

luận án này.

1.4. Các bài toán ngược kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa

Hadamard ([67], [99]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa

mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ

thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu

như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng

Bài toán đặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt không

chỉnh không có ý nghĩa vật lý. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, nhiều bài

toán thực tiễn của khoa học và công nghệ đã dẫn đến các bài toán đặt

không chỉnh. Chính vì những lý do này mà từ đầu thập niên 50 của thế

kỷ trước, nhiều công trình nghiên cứu đã đề cập tới bài toán đặt không

chỉnh. Các nhà toán học A. N. Tikhonov, M. M. Lavrent’ev, F. John, C.

Pucci, V. K. Ivanov là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Kể

từ năm 1963, sau khi Tikhonov ([99]) đưa ra phương pháp chỉnh hóa các

bài toán đặt không chỉnh nổi tiếng của ông, bài toán đặt không chỉnh và

bài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của vật lý toán và khoa học

tính toán. Phương trình parabolic ngược thời gian vừa được kể trên không

nằm ngoài trào lưu này.

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

của mình là:"Phương trình parabolic ngược thời gian".

6

2. Mục đích nghiên cứu

2.1. Một trong những vấn đề cơ bản khi nghiên cứu các bài toán đặt

không chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta

biết bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp

số hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong

việc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp

chỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn

định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu cho

phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian và điều kiện

biên thuần nhất ([8]). Các đánh giá thường chỉ nhận được cho chuẩn L2,

rất ít kết quả nhận được cho các chuẩn khác. Một trong những mục đích

của luận án là tìm các đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược

thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong chuẩn Lp(p > 1) và

cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời

gian trong chuẩn L2.

2.2. Mục đích thứ hai của luận án là chỉnh hóa phương trình parabolic

ngược thời gian bằng bài toán giá trị biên không địa phương. Để xấp xỉ

một cách ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh, ta phải dùng các

phương pháp chỉnh hóa. Các thuật toán chỉnh Tikhonov, lặp, hoặc phương

pháp bài toán liên hợp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]),... đã tỏ ra khá hữu

hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian. Tuy nhiên, các phương

pháp này còn ít được áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời gian

tổng quát. Trong luận án này chúng tôi phát triển luận văn cao học của

mình ([1], [2]) về việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa bằng bài toán biên

không địa phương cho phương trình parabolic. Ý tưởng chỉnh hóa phương

trình parabolic ngược thời gian bằng bài toán biên không địa phương cho

phương trình parabolic được Vabishchevich ([103]) đề xuất vào năm 1981,

sau đó vào năm 1985 Showalter ([93]) cũng đưa ra phương pháp tương tự;

Clark và Oppenheimer ([23]) đã có một số cải tiến cho phương pháp này

vào năm 1994. Trong luận văn cao học của mình, tác giả đã đưa ra một

7

số đánh giá tốt hơn cho phương pháp của các tác giả kể trên ([10], [23])

và chứng minh rằng phương pháp trên thực sự là một phương pháp hiệu

chỉnh. Mục đích tiếp theo là mở rộng phương pháp cho các phương trình

phức tạp hơn, đặc biệt là phương trình parabolic ngược thời gian với hệ

số phụ thuộc thời gian.

2.3. Mục đích thứ ba của luận án là nghiên cứu về sơ đồ sai phân tiến

ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian. Trong các bài báo

([29], [30], [37]), dựa trên phương pháp làm trơn của mình, Đinh Nho Hào

đã đề xuất ra các sơ đồ sai phân tiến ổn định (trong chuẩn Lp) cho một

số bài toán đặt không chỉnh. Áp dụng phương pháp này cho phương trình

parabolic ngược thời gian là một điều khả thi và thú vị. Tính toán trên

máy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến rất có hiệu quả, nên việc nghiên

cứu chúng cho các bài toán đặt không chỉnh là cần thiết.

3. Đối tượng nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về các đánh giá ổn định và chỉnh hóa

phương trình parabolic ngược thời gian.

4. Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số

không phụ thuộc thời gian và cả hệ số phụ thuộc thời gian. Luận án nghiên

cứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert (L2)

và trong không gian Banach (Lp, p > 1).

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp bài toán

giá trị biên không địa phương và phương pháp làm nhuyễn do Đinh Nho

Hào đề xướng.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về

phương trình parabolic ngược thời gian.

Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào các bài toán truyền nhiệt, đồng hóa

số liệu, xử lý ảnh, ...

8

7. Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1. Bài toán đặt không chỉnh. Để tiện lợi cho các thảo luận về

sau, trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đánh giá ổn định

và chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [3]).

Giả sử ta cần giải phương trình

Au = f

với A là toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến) từ không gian hàm X vào

không gian hàm Y nào đó, còn f là dữ kiện đã cho thuộc không gian Y .

Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với dữ kiện f nào bài toán

cũng có nghiệm và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo một

nghĩa nào đó), thì lời giải này không phụ thuộc liên tục (theo một metric

nào đó) vào dữ kiện f. Do tính không ổn định này của bài toán nên việc

giải số nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài

toán có thể dẫn đến một sai số lớn bất kỳ trong lời giải. Mục đích của lý

thuyết bài toán đặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu hiệu

để giải các bài toán này một cách ổn định. Để đạt được mục đích đó trước

hết phải nghiên cứu về tính ổn định có điều kiện của bài toán, nghĩa là

chỉ ra một lớp M nào đó của không gian X để lời giải của bài toán thuộc

lớp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán.

Các đánh giá này không chỉ nói lên tính chất định tính của bài toán

mà còn giúp ta trong việc phát triển các phương pháp số để giải bài toán

và đánh giá sai số của phương pháp. Để đơn giản, ta giả thiết rằng X và

Y là các không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng là k · kX và k · kY .

Giả sử rằng, nếu ta chọn được một tập hợp M và biết được nếu u ∈ M

thì nó sẽ phụ thuộc liên tục vào f, nghĩa là, tồn tại một hàm ω một biến

thực, liên tục, với ω(0) = 0, sao cho

kukX 6 ω(kfkY ).

Đánh giá này được gọi là đánh giá ổn định ([14]) và trong trường hợp

này, bài toán được gọi là ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa

9

Tikhonov ([56]) (Tikhonov là người đầu tiên đưa ra nhận xét này vào năm

1943 ([98])). Tập M thường là những tập mà ở đó lời giải của bài toán có

ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như đó là tập mà ở đó lời giải bị chặn (nhiệt độ

hoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì giới nội,...), hoặc đó là một tập

lồi, tập các hàm không âm, tập các hàm đơn điệu,... Nếu ω(t) = ctα với

α > 0 nào đó, thì ta có đánh giá ổn định kiểu H¨older và ta có một "bài

toán tốt". Nếu ω là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh giá ổn định

kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu". Còn nếu ta không có một đánh

giá nào về tốc độ tiến tới 0 của ω(t) khi t → 0 thì ta có một "bài toán rất

xấu".

Giả sử với toán tử A và các không gian định chuẩn (X, k · kX) và

(Y, k · kY ) vừa đề cập ở trên, bài toán giải phương trình Au = f là một

bài toán đặt không chỉnh. Ngoài ra, giả sử rằng, với vế phải chính xác ¯f,

tồn tại một nghiệm duy nhất; nghĩa là tồn tại duy nhất u¯ sao cho Au¯ = ¯f.

Trên thực tế ¯f không được biết, mà ta chỉ biết phần tử fδ và số dương

δ sao cho kfδ − ¯fkY 6 δ. Yêu cầu đặt ra là xây dựng nghiệm xấp xỉ của

phương trình – phần tử uδ sao cho uδ → u¯ khi δ → 0. Vì bài toán đặt

không chỉnh, chúng ta không thể sử dụng toán tử ngược A−1

, nghĩa là,

không thể chọn uδ = A−1

fδ

. Bởi vì toán tử ngược này có thể không xác

định tại fδ và cũng có thể không liên tục trên Y . Do đó muốn xây dựng

nghiệm xấp xỉ uδ

, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Sau đây,

chúng tôi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem

[27], [41], [67]).

Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, bị chặn với mỗi α > 0, tác động

từ Y vào X được gọi là chỉnh hóa cho phương trình Au = f (đối với phần

tử ¯f), nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn

1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với

mọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : kf − ¯fkY 6 δ, δ ∈ (0, δ1);

2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn

tại δ(ε) 6 δ1 thỏa mãn: với mọi f ∈ Y , kf − ¯fkY 6 δ kéo theo bất đẳng

10

thức kR(f, α) − u¯kX 6 ε.

Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi

là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta gọi

là cách chọn hậu nghiệm.

7.2. Tổng quan về phương trình parabolic ngược thời gian

Một trong những công trình đầu tiên nghiên cứu về phương trình

parabolic ngược thời gian là công trình của John ([58]) công bố năm 1955.

Trong [58], John đã đề xuất một phương pháp số để giải bài toán Cauchy

cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh phương pháp

đó ổn định trên tập các hàm số dương bị chặn. Krein là người đầu tiên sử

dụng phương pháp lồi logarithm để thu được các đánh giá ổn định nghiệm

cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số hằng số và hệ số phụ

thuộc thời gian trong không gian Hilbert trong công trình [63] xuất bản

năm 1957. Tiếp theo đó các kết quả về tính duy nhất ngược cũng xuất

hiện ([64], [68]). Ngoài ra, trong công trình [64], Krein đã đưa ra đánh

giá cận dưới của nghiệm. Kết quả này kéo theo tính duy nhất ngược của

nghiệm phương trình parabolic trong không gian Banach Lp (p > 1).

Từ những công trình đầu tiên vừa đề cập ở trên, cho đến nay, hàng

loạt công trình có giá trị nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thời

gian đã được công bố. Các công trình này bao gồm:

1) Tính duy nhất ngược (backward uniqueness): [5], [7], [61], [62], [64],

[68], [83], [91].

2) Đánh giá ổn định: [5], [6], [19], [22], [31], [33], [36], [29], [56], [63], [67],

[89].

3) Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số ổn định và hữu hiệu:[4], [10],

[12], [16], [17], [23], [29], [32], [33], [35], [36], [42], [45], [46], [47], [51], [53],

[58], [66], [67], [76], [78], [79], [92], [95].

Nghiên cứu về tính duy nhất ngược nhằm trả lời cho câu hỏi: "Khi nào

nghiệm của phương trình parabolic với thời điểm cuối đã biết được xác

định duy nhất?" Chẳng hạn, tính duy nhất ngược cho nghiệm của phương

11

trình parabolic tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian có thể mô

tả như sau: Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i và

chuẩn k·k, A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử không phụ thuộc thời gian,

tự liên hợp, xác định dương sao cho −A sinh ra một nửa nhóm co compact

{S(t)}t>0 trên H. Khi đó, nếu u(t), 0 6 t 6 T là nghiệm của phương trình

ut + Au = 0, 0 < t < T thỏa mãn u(T) = 0 thì u(t) = 0, ∀t ∈ [0, T).

Kết quả trên được phát triển theo hai hướng sau đây:

- Hướng thứ nhất nghiên cứu về tính duy nhất ngược và các đánh giá

cận dưới cho các nghiệm của bất phương trình vi phân chứa phương trình

parabolic. Theo hướng này, vào năm 1961, Cohen và Lees ([24]) đã thu

được đánh giá cận dưới cho các nghiệm của bất phương trình vi phân có

dạng

kut − Auk 6 φ(t)ku(t)k (0.1)

chỉ với giả thiết A là toán tử đối xứng trong không gian Hilbert H. Kết

quả này kéo theo tính duy nhất ngược mà chúng tôi vừa đề cập ở trên.

Trong trường hợp toán tử A tự liên hợp, năm 1963, Agmon và Nirenberg

([5]) đã tìm thấy một cách chứng minh đơn giản hơn kết quả của Cohen

và Lees, cũng như một vài mở rộng của kết quả đó. Đến năm 1965, Ogawa

([83]) đã đơn giản hóa chứng minh của Agmon và Nirenberg với giả thiết

nhẹ hơn A là toán tử đối xứng. Năm 1967, Agmon và Nirenberg ([7]) đã

công bố kết quả về tính duy nhất ngược cho nghiệm của bất phương trình

vi phân có dạng tổng quát hơn

°

°

°

°

du

dt − B(t)u(t)

°

°

°

°

6 Φ(t)

(

ku(t)k

2 +

Z T

t

ω(τ )ku(t)k

2

dτ)

1

2

.

Ở đây B(t) (với mỗi t) là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

H với miền xác định DB(t)

, u(t) ∈ DB(t)

, u ∈ C

1

([0, T); H), B(t)u(t) ∈

C([0, T); H), Φ(t) là hàm đo được không âm bị chặn trên mỗi đoạn hữu

hạn [0, T0

] với T

0 < T, ω(t) là hàm liên tục không âm trên [0, T) và thỏa

mãn R T

0

ω(τ )ku(τ )k

2dτ < +∞.

12

-Hướng thứ hai nghiên cứu tính duy nhất ngược cho phương trình

parabolic có cấu trúc phức tạp hơn hoặc điều kiện áp đặt lên các hệ số của

phương trình yếu hơn. Theo hướng này, năm 2003, Kukavica ([61]) đã công

bố kết quả về tính duy nhất ngược cho phương trình ut−4u = wj∂ju+vu

với (x, t) ∈ R

n × (T0, 0]. Năm 2005, Santo và Prizzi ([91]) đã đưa ra kết

quả về tính duy nhất ngược cho phương trình với toán tử parabolic ngược

có dạng

L = ∂t +

X

n

j,k=1

∂xj

(ajk(t, x)∂xk

) +X

n

j=1

bj (t, x)∂xj + c(t, x),

trong đó các hệ số của toán tử L không liên tục Lipschitz theo biến thời

gian. Năm 2007, Kukavica ([62]) đã công bố kết quả về tính duy nhất

ngược cho phương trình phi tuyến có dạng ut + Au = f(u).

Một vấn đề khác được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu là tìm

các kết quả đánh giá ổn định. Trong trường hợp phương trình tuyến tính

với hệ số không phụ thuộc thời gian ta có kết quả "Cho T, E, ε là các số

thực dương và A là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác

định dương trên không gian Hilbert H, nếu u(t) là nghiệm của phương

trình ut + Au = 0, 0 < t < T với ku(T)k 6 ε và ku(0)k 6 E, thì ta có

đánh giá ku(t)k 6 ku(T)k

t

T ku(0)k

1−

t

T 6 ε

t

T E

1−

t

T , ∀t ∈ [0, T]". Đây là kết

quả tối ưu (xem [96]) và có thể đạt được bằng phương pháp lồi logarithm

([6], [9], [14], [27], [56], [63], [67], [79]). Kết quả trên được phát triển theo

ba hướng sau:

Thứ nhất là tìm các đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình với hệ

số phụ thuộc thời gian, tức là trường hợp A = A(t). Như đã trình bày ở

trên, kết quả đầu tiên được Krein ([63]) công bố năm 1957. Kết quả này

được Agmon và Nirenberg ([5]) phát triển vào năm 1963. Từ đó tới nay, có

rất nhiều công trình đã trích dẫn kết quả đánh giá ổn định của Agmon và

Nirenberg nhưng chưa có một công trình nào cải tiến kết quả này. Trong

luận án, chúng tôi chứng minh được các kết quả đánh giá ổn định nghiệm

đã nêu trong [5] không tốt hơn kết quả đánh giá ổn định nghiệm trong