PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN pot

http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí ­ [email protected]  1

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN  1) Phương trình mặt cầu :

* Cho mặt cầu S(I,R) có tâm I (a;b; c) và bán kính R : Pt mặt cầu là ( ) ( ) ( )

2 2 2 2  x- a + y -b + z - c = R

* Dạng khai triển :  2 2 2  x + y + z + ax+ by + cz + d = 0  là pt mặt cầu khi và chỉ khi  2 2 2 a + b + c - 4d f 0 

Khi đó ta viết pt trên về dạng 

2 2 2  2 2 2  4

2 2 2 4 

a b c a b c d  x y z

Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ + + - + + + + + = Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

Suy ra tâm mặt cầu là : 1  2 2 2  ; ; , 4 

2 2 2 2 

a b c  I R a b c d

Ê ˆ Á - - - ˜ = + + -

Ë ¯  Ví dụ 1: Viết pt mặt cầu trong các trường hợp sau “ 

a) đường kính AB với A(1;1;1), B(3;-1;1) 

b) đi qua 3 điểm A(0;0;1), B(1;0;0),C (0;1;0 ) và gốc tọa độ 

c) đi qua 3 điểm A,B,C ở trên và có tâm thuộc mặt phẳng  x+ y + z- 3 = 0  Giải : a) Tâm là trung điểm của AB là : I (2;0;1)  , bán kính  1

2

2  R = AB =

Vậy ptmc là : ( ) ( )

2 2 2

x- 2 + y + z -1 = 2 

b) Gọi ptmc là : 2 2 2  x + y + z + ax+ by + cz + d = 0  Mặt cầu đi qua 4 điểm trên nên lần lượt thay tọa độ 4 điểm đó vào pt ta có hệ :

1 0 1 

1 0 1 

1 0 1 

0 0 

c d a 

a d b  b d c 

d d

Ï + + = Ï = -

Ô Ô Ô + + = Ô = -

Ì ¤ Ì

+ + = = - Ô Ô Ô

Ó = Ô Ó =

. Vậy ptmc là : 2 2 2  x + y + z - x- y - z = 0 

d) Gọi tâm mặt cầu là I (a;b; c) và bán kính  R , Ta có :

( ) 

IA R 

IB R 

IC R 

I a

Ï =

Ô Ô =

Ì =

Ô Ô Ó Œ

( )

( )

( )

2  2 2 2 

2  2 2 2 

2  2 2 2 

1 1

1 1

1

1

2

3 0 

a b c R  a 

a b c R b 

  c 

a b c R  R  a b c

Ï + + - = Ï = Ô Ô Ô - + + = = Ô Ô

¤ Ì ¤ Ì = Ô + - + = Ô Ô Ô Ó = Ô Ó + + - =

  Ví dụ 2: Viết pt mc đi qua 3 điểm A(0;0;1), B(1;0;0),C (0;1;0 ) và có bán kính nhỏ nhất.  Giải : Gọi tâm mặt cầu là I (a;b; c) và bán kính  R , Ta có : 

IA IB 

IA IC

Ï =

Ì Ó =

( ) ( )

( ) ( )

2 2  2 2 2 2 

2 2 2 2 2  2 

1 1 

1 1 

a b c a b c 

a c b  a b c a b c

Ï + + - = - + + Ô

¤ Ì ¤ = =

Ô + + - = + + - Ó

Ta lại có : ( )

2 

2  2 2 2  1 2 2  1 3 2 1 3 

3 3 3  R IA a b c a a a

Ê ˆ = = + + - = - + = - + ³ Á ˜ Ë ¯

Bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi  1 2 

, 3 3  a = b = c = R =

PTmc là: 

2 2 2  1 1 1 2

3 3 3 3  x y z

Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ - + - + - = Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯