Phương pháp xây dựng đồ thị hàm số trong chương trình trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TỐNG THIÊN LONG

PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ

HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển.

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến.

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thông(THPT),

các bài toán xây dựng đồ thị của một hàm số luôn là một chủ

đề thú vị và hấp dẫn. Ngoài phương pháp kinh điển là dựa vào

đạo hàm để từ đó xây dựng được đồ thị của hàm số, thì ta còn

có thể xây dựng được đồ thị của chúng thông qua các tính chất

cơ bản và đặc thù của hàm số nhằm tạo một nét mới, và cũng là

giới thiệu thêm một phương pháp xây dựng đồ thị của hàm số,

để giúp cho giáo viên và học sinh ở cấp THPT có thêm một cách

nhìn nhận và lựa chọn trong việc tiếp cận với việc xây dựng đồ thị

cho hàm số. Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, thầy giáo –

TS. Lê Hải Trung, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp xây dựng

đồ thị hàm số trong chương trình Trung học phổ thông”

cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất của hàm số,

để từ đó xây dựng phương pháp vẽ đồ thị của chúng, đồng thời

ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) để vẽ đồ thị.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp xây dựng đồ thị các hàm số một

biến cơ bản và các hàm số phức tạp trong chương trình THPT.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh

vực sau đây: Giải tích, Đại số,. . . .

5. Bố cục đề tài

2

Luận văn có cấu trúc như sau:

- Chương 1: Kiến thức cơ sở

- Chương 2: Xây dựng đồ thị của một số hàm số trong

chương trình Trung học phổ thông

- Chương 3: Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketch￾pad (GSP) trong việc xây dựng đồ thị của hàm số

- Kết luận và Tài liệu tham khảo

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ

1.1.1. Các tập hợp số

Định nghĩa 1.1.1. (Tập hợp số tự nhiên)

Định nghĩa 1.1.2. (Tập hợp số tự nhiên khác 0)

Định nghĩa 1.1.3. (Tập hợp số nguyên)

Định nghĩa 1.1.4. (Tập hợp số hữu tỷ)

Định lý 1.1.1.

Định nghĩa 1.1.5. Tập hợp các số thực là tập hợp bao gồm các

số hữu tỉ và các số vô tỉ (số vô tỉ là số biểu diễn bởi số thập phân

vô hạn không tuần hoàn). Ký hiệu : R.

Quan hệ giữa các tập hợp số: N

∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

1.1.2. Ánh xạ

Định nghĩa 1.1.6. (Ánh xạ)

Định nghĩa 1.1.7. (Đơn ánh)

Định nghĩa 1.1.8. (Toàn ánh)

Định nghĩa 1.1.9. (Song ánh)

4

Định nghĩa 1.1.10. (Ánh xạ tích)

Định nghĩa 1.1.11. (Ánh xạ ngược)

Định lý 1.1.2.

1.1.3. Hàm số một biến thực

Định nghĩa 1.1.12. Cho hai tập hợp số X và Y (X ⊂ R, Y ⊂ R).

Một ánh xạ f từ X đến Y là một hàm số f từ X đến Y , ký hiệu

là:

f : X −→ Y

x 7−→ y = f(x).

Trong định nghĩa trên, x gọi là đối số, y = f(x) gọi là hàm số.

Định nghĩa 1.1.13. (Tập xác định)

Định nghĩa 1.1.14. (Tập giá trị)

Định nghĩa 1.1.15. (Sự biến thiên của hàm số)

Nhận xét 1.1.1. Lập tỉ số f(x2) − f(x1)

x2 − x1

với x1, x2 ∈ (a; b) và

x1 6= x2.

• Nếu f(x2) − f(x1)

x2 − x1

> 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên

(a; b).

• Nếu f(x2) − f(x1)

x2 − x1

< 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến

trên (a; b).

5

Chú ý 1.1.1. Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới

dạng bảng gọi là bảng biến thiên của hàm số.

Định nghĩa 1.1.16. Cho hàm số y = f(x) xác định trên X.

• (y = f(x) − hàm chẵn trên X)

∀(x, −x ∈ X)[f(−x) =

f(x)].

• (y = f(x) − hàm lẻ trên X)

∀(x, −x ∈ X)[f(−x) =

−f(x)].

Định nghĩa 1.1.17. (Hàm số tuần hoàn)

Định nghĩa 1.1.18. (Hàm số hợp)

Định nghĩa 1.1.19. (Hàm số ngược)

Định nghĩa 1.1.20. (Cực trị của hàm số)

Định nghĩa 1.1.21. (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số)

1.2. HỆ TỌA ĐỘ

1.2.1. Hệ tọa độ Descartes

1.2.2. Hệ tọa độ cực

1.3. KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên X.

Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong

mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc hoặc tọa độ cực. Ký hiệu:

(C) = {(x; y)|x ∈ X, y = f(x)} .

6

Công thức y = f(x) được gọi là phương trình của đồ thị.

Nhận xét 1.3.1.

Nhận xét 1.3.2. Đường thẳng x = a được gọi là trục đối xứng

của đồ thị y = f(x) ⇔ với phép biến đổi tọa độ:







X = x − a

Y = y

⇔







x = X + a

y = Y

hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn.

Nhận xét 1.3.3. Điểm I(a; b) được gọi là tâm đối xứng của đồ

thị y = f(x) ⇔ với phép biến đổi tọa độ:







X = x − a

Y = y − b

⇔







x = X + a

y = Y + b

hàm số Y = F(X) − b là hàm số lẻ.

Định nghĩa 1.3.2. (Điểm uốn của đồ thị)

Chú ý 1.3.1. Điều kiện f”(x0) = 0 chỉ là điều kiện cần để tồn

tại điểm uốn có hoành độ x0.

Ví dụ 1.3.1. Cho hàm số y = x

4

. Khi đó y

00 = 12x

2

.

Mặc dù y

00(0) = 0 nhưng do y

00 ≥ 0, ∀x ∈ R, suy ra đồ thị

hàm số y = x

4 không có điểm uốn.

Định nghĩa 1.3.3. (Tiệm cận của đồ thị)

Nhận xét 1.3.4. Đường cong (C) : y = f(x) chỉ có thể có tiệm

cận ⇔ miền xác định hoặc miền giá trị của hàm số y = f(x) phải

chứa ∞ ⇔ Đường cong (C) : y = f(x) phải có nhánh chạy ra vô

tận. Tuy nhiên có những hàm số có nhánh chạy ra vô tận nhưng

vẫn không có tiệm cận.

7

Nhận xét 1.3.5. Cho đường cong (C) : y = f(x). Xét các dấu

hiệu với các tiệm cận tương ứng:

1. Tiệm cận đứng: limx→a

f(x) = ∞ ⇔ x = a là tiệm cận đứng.

2. Tiệm cận ngang: limx→∞

f(x) = b ⇔ y = b là tiệm cận ngang.

3. Tiệm cận xiên: limx→∞

[f(x) − (ax + b)] = 0 ⇔ y = ax + b là

tiệm cận xiên (a 6= 0).

Nhận xét 1.3.6. Cho hàm phân thức y = f(x) = u(x)

v(x)

, ta có

các nhận xét:

1. Hàm phân thức có tiệm cận ngang nếu như deg u(x) = deg v(x).

Khi đó đường thằng y = a là tiệm cận ngang của hàm phân

thức nếu:

limx→∞

u(x)

v(x)

= a.

2. Hàm phân thức có tiệm cận đứng nếu như v(x) có nghiệm.

Giả sử x1, x2, x3, ..., xn là các nghiệm của v(x). Khi đó hàm

phân thức có k tiệm cận đứng x = xk, k = 1, 2, 3, ..., n bởi vì:

limx→xk

u(x)

v(x)

= ∞, với mọi k = 1, 2, 3, ..., n.

3. Hàm phân thức có tiệm cận xiên nếu như deg u(x) = deg v(x)+

1. Khi đó ta có đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của

hàm phân thức với:

a = limx→∞

u(x)

v(x)

;

b = limx→∞ 

u(x)

v(x)

− ax

.

8

CHƯƠNG 2

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ

HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH

THPT

2.1. XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA CÁC HÀM

ĐA THỨC CƠ BẢN

2.1.1. Hàm đa thức bậc nhất

2.1.2. Hàm đa thức bậc hai

2.1.3. Hàm đa thức bậc ba

2.1.4. Hàm trùng phương

2.2. XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

2.2.1. Hàm số hữu tỷ bậc nhất trên bậc nhất

2.2.2. Hàm số hữu tỷ bậc hai trên bậc nhất

2.2.3. Đồ thị hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

, Qm(x) 6= 0

Cho hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

với Pn(x), Qm(x) lần lượt là

các đa thức có bậc m, n và Qm(x) 6= 0.

Tập xác định của hàm phân thức là tập hợp tất cả các số thực

trừ các nghiệm (nếu có) của Qm(x).

9

Để xây dựng đồ thị hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

, Qm(x) 6= 0,

ta cần xem xét các vấn đề sau:

• Tiệm cận đứng

Giả sử tồn tại x0 mà limx→x0

Pn(x)

Qm(x)

= ∞ thì đường thẳng x = x0

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

.

• Giao điểm của đồ thị hàm phân thức với trục hoành

Giao điểm của đồ thị hàm phân thức với trục hoành (nếu có)

là điểm có tọa độ (x0; 0) với x0 là nghiệm của Pn(x).

• Xét giá trị của hàm đa thức trên các khoảng

Khi vẽ đồ thị hàm phân thức, trước tiên ta đánh dấu các tiệm

cận đứng, giao điểm của đồ thị với trục hoành. Sau đó chọn một

số c ∈ R bất kỳ nằm giữa các điểm đã đánh dấu trên trục hoành.

Khi đó, ta xem xét giá trị của hàm phân thức là dương hay âm

tại điểm x = c. Nếu hàm phân thức đạt giá trị dương thì đánh

một dấu trên trục hoành. Nếu hàm phân thức đạt giá trị âm thì

đánh một dấu dưới trục hoành.

• Xét phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị

Cho axn

, bxm lần lượt là số hạng có bậc cao nhất của y =

Pn(x) và Qm(x).

Ta nhận xét rằng phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị

hàm y = Pn(x) trông gần giống như của đồ thị hàm số y = axn

.

Tương tự thì phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị

hàm y = Qm(x) trông gần giống như của đồ thị hàm số y = bxm.

Do đó phần bên trái và bên phải ở vô cực của đồ thị hàm phân

thức y =

Pn(x)

Qm(x)

trông gần giống như của đồ thị hàm phân thức

y =

axn

bxm

.

10

• Xây dựng đồ thị hàm phân thức

Để vẽ đồ thị hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

, ta đánh dấu các

giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có), các tiệm cận đứng

(nếu có). Xác định các điểm mà tại đó hàm phân thức đạt giá trị

dương (hoặc âm) trong các khoảng giữa của các giao điểm của đồ

thị với trục hoành và tiệm cận đứng.

Tiếp theo, ta đánh dấu đồ thị hàm phân thức axn

bxm

. Phần bên

trái và bên phải ở vô cực của đồ thị hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

sẽ trông gần giống như của đồ thị hàm y =

axn

bxm

.

Cuối cùng, ta xây dựng đồ thị hàm phân thức y =

Pn(x)

Qm(x)

một cách hợp lý bằng cách dựa vào các dữ kiện mà ta đã xem xét

trước đó. Để rõ hơn, ta xét một ví dụ sau đây.

Ví dụ 2.2.1. Hãy xây dựng đồ thị hàm số y =

x

3 − 2x

2 + x − 2

x

2 − x − 6

.

Lời giải. Ta xét: x

2 − x − 6 = 0 ⇔ x = −2 hoặc x = 3.

Do đó, tập xác định: D = R\ {−2; 3}.

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = −2 và x = 3.

Ta xét: x

3 − 2x

2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 2.

Do đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (2; 0).

Xét giá trị của hàm phân thức tại các điểm x = c bất kỳ thuộc

các khoảng giữa các điểm đã được đánh dấu trên trục hoành.

• Xét c ∈ (−∞ < c < −2), chọn c = −4 ⇔ f(−4) < 0.

• Xét c ∈ (−2 < c < 2), chọn c = −1 ⇔ f(−1) > 0.

• Xét c ∈ (2 < c < 3), chọn c = 2.5 ⇔ f(2.5) < 0.

11

• Xét c ∈ (3 < c < +∞), chọn c = 5 ⇔ f(5) > 0.

Xét hàm phân thức của hai số hạng có bậc cao nhất của tử và

mẫu :

y =

x

3

x

2

= x.

Ta vẽ đường thẳng y = x.

Cuối cùng, ta nối các điểm dựa vào các dữ kiện đã xét trước

đó sẽ được đồ thị hàm phân thức y =

x

3 − 2x

2 + x − 2

x

2 − x − 6

như hình

dưới đây:

Hình 2.7