Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Phương pháp tính giới hạn dãy số, hàm số và các dạng toán liên quan.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN MAI VI
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ,
HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015
Công trình đ c hoàn thành t i
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí
Ph n bi n : TS Lê Hải Trung
Phản biện : PGS. TS. Tr n Đạo Dõng
Lu n văn đã được bảo vệ trước H i ng chấm Luận văn
t t nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
tháng năm
C ể ể ă ạ :
- T - ệ , Đạ ọ Đ ẵ
- T ọ ệ , Đạ ọ Đ ẵ
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong ngành
Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học phổ thông nói riêng, không
những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của hàm số mà còn là một
công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết biểu diễn,...ngoài ra chủ đề này này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết
cũng như thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thể giải quyết
nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Hình học, Số học, Vật lý,...Vì vậy Giới
hạn ở THPT có ý nghĩa quan trọng. Ta đã biết, nói đến chủ đề giới hạn ta nghĩ
ngay đến các phương pháp tìm giới hạn mà đối tượng chính là dãy số và hàm
số.Chúng ta đã được học một số định lý cơ bản của giới hạn dãy số, hàm số làm
phương pháp để tính giới hạn trong chương trình toán THPT. Ngoài những định
lý cơ bản ta có thể vận dụng một số định lý sau để tìm giới hạn: định lý kẹp
giữa về giới hạn, định lý Lagrange, định lý Stolz, quy tắc L’Hospital, định lý
Weierstrass. Để nắm chắc nội dung và bản chất của định lý đồng thời chúng ta
phải biết vận dụng các định lý trong những trường hợp cụ thể nào và hiểu rõ hơn
về vai trò, ý nghĩa của giới hạn thì đây chính là lý do tôi viết đề tài: “ Phương
pháp tính giới hạn dãy số, hàm số và các dạng toán liên quan.” nhằm giúp
cho học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh giỏi biết cách áp dụng các định lý
trên để tìm giới hạn của dãy số, hàm số. Đồng thời học sinh nắm chắc vai trò và
ý nghĩa của giới hạn thông qua việc giải các dạng toán liên quan đến giới hạn.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Giúp cho học sinh hiểu được bản chất và ý nghĩa của các định lý, khái
niệm giới hạn dãy số, hàm số.
- Vận dụng các định lý để tính giới hạn dãy số, hàm số từ đó định hướng
được phương pháp tìm giới hạn dãy số, hàm số cụ thể tạo hứng thú khi giải bài
2
tập.
- Vận dụng giới hạn để giải các bài toán liên quan đến giải tích giúp các em
thấy vai trò và ý nghĩa của giới hạn.
- Rèn luyện học sinh kỹ năng giải bài tập, khả năng phát triển trí tuệ thông
qua hệ thống bài tập từ mức độ dễ đến khó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các định lý cơ bản của giới hạn, định lý kẹp giữa về giới hạn, định lý
Lagrange, định lý Stolz, quy tắc L’Hospital, định lý Weierstass để tính giới hạn
dãy số, hàm số và các dạng toán giải tích liên quan đến giới hạn.
- Học sinh trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh giỏi toán.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, giáo trình, tạp chí, các tài liệu
trong và ngoài nước có liên quan đến giới hạn dãy số, hàm số.
5. Bố cục của đề tài
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và phụ lục.
Chương 1 Lý thuyết về giới hạn dãy số, hàm số.
Chương 2 Phương pháp tính giới hạn dãy số, hàm số.
Chương 3 Các dạng toán liên quan.
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Luận văn đã tham khảo một số tài liệu khoa học tiếng Việt và tiếng Anh về
các phương pháp tính giới hạn dãy số, hàm số và các dạng toán liên quan đến
giới hạn. Hiện tại trong và ngoài nước đã viết luận văn về đề tài này.
Tuy nhiên các công trình khoa học vẫn chưa tổng hợp được nhiều các
phương pháp tính giới hạn dãy số và hàm số trong sơ cấp và trong thực tế
hoặc có nhưng vẫn còn hạn chế.
Vì vậy việc nghiên cứu, tổng hợp các phương pháp tính giới hạn dãy số,
hàm số và các dạng toán liên quan đến giới hạn một cách rõ ràng, hệ thống là
cần thiết. Kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ giúp người học toán dễ dàng hơn
trong việc áp dụng các phương pháp để tính giới hạn dãy số, hàm số phức tạp
và áp dụng lí thuyết về giới hạn để giải một số dạng toán liên quan.
3
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT GIỚI HẠN DÃY SỐ, HÀM SỐ
1.1 CÁCH CHO DÃY SỐ
1.1.1 Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi ánh xạ u từ tập số tự nhiên N = 1,2,3,...,n,... vào
một tập số thực R là một dãy số.
u : n 7→ u(n) = un
Định nghĩa 1.1.2. Cho dãy {un} với n ∈ N
∗
Dãy {un} được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nếu un ≤ un+1,∀n ∈ N
∗
.
Dãy {un} được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu un ≥ un+1,∀n ∈ N
∗
.
Dãy {un} được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu un < un+1,
∀n ∈ N
∗
.
Dãy {un} được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu un > un+1,
∀n ∈ N
∗
.
Định nghĩa 1.1.3. Cho dãy số {xn}
Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho xn ≤ M,
∀n ∈ N
∗
.
Dãy {xn} được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số M sao cho xn ≥ M,
∀n ∈ N
∗
.
Dãy {xn} vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.
Định nghĩa 1.1.4. Dãy {xn} bị chặn khi và chỉ khi tồn tại hằng số c ≥ 0 sao
cho |un| ≤ c,∀n ∈ N
∗
.
4
1.1.2 Cách cho dãy số
+) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát
+) Dãy số cho bởi công thức truy hồi
+) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
+) Dãy số xác định bởi phương trình
1.2 CÁCH CHO HÀM SỐ
1.2.1. Định nghĩa hàm số
Cho tập X ⊂ R. Ta gọi một ánh xạ f đi từ tập X vào tập số thực R là một
hàm số.
Kí hiệu.
f :X → Y
x → y = f(x)
1.2.2. Cách cho hàm số
Có thể cho hàm số bằng biểu thức : y = f(x) được dùng nhiều trong toán
học.
Ví dụ 1.2.1.
1.3 PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
CỦA DÃY SỐ
1.3.1. Cấp số cộng, cấp số nhân
1.3.1.1. Cấp số cộng
Định nghĩa 1.3.1. Dãy số {un} có tính chất un = un−1 +d , ∀n ≥ 2 , d là số
thực không đổi gọi là cấp số cộng.
5
d: công sai cấp số cộng, u1 là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát thứ n.
Số hạng tổng quát là: un = u1 + (n−1)d,∀n ≥ 2.
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có công sai d. Ta có
Sn =
n
2
[2u1 + (n−1)d]
1.3.1.2. Cấp số nhân
Định nghĩa 1.3.2. Dãy số {un} có tính chất un+1 = q.un,∀n ∈ N
∗ gọi là cấp
số nhân bội q.
Số hạng tổng quát của {un} có công bội q là un = u1.q
n−1
.
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân {un} công bội q. Ta có
Sn = u1
1−q
n
1−q
với q 6= 1.
Lưu ý:
i) Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn
|q| < 1.
ii) Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn là
S = u1 +u2 +...+un +... =
u1
1−q
.
1.3.2. Hàm lặp
Để tìm công thức tổng quát của dãy số bằng phương pháp hàm lặp ta thường
tìm các hàm số f(x) và h(x) sao cho: f(xn) = h(f(xn−1)). (*)
Áp dụng (*) liên tiếp ta được:
f(xn) = h(f(xn−1)) = h(h(f(xn−2))) = h
2
(f(xn−2)) = ... = h
n
(f(x0)).
Từ đó ta tìm được công thức tổng quát của dãy số.
Hàm f được gọi là hàm số phụ, hàm h được gọi là hàm lặp.
Dạng 1. Dãy số {un} xác định bởi :
u1 = x0
un = aun−1 + f(n),∀n ≥ 2
, trong
đó f(n) là đa thức bậc k theo n.
Phương pháp. Phân tích f(n) = g(n)−ag(n−1) (1) với g(n) cũng là đa thức
theo n. Khi đó ta có : un −g(n) = a[un−1 −g(n−1)] = ... = a
n−1
[u1 −g(1)].
Vậy ta có un = [u1 −g(1)]a
n−1 +g(n).
6
Vấn đề còn lại là ta xác định g(n) như thế nào?
Ta thấy: Nếu a=1 thì g(n)−ag(n−1)là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n), mà f(n) là đa thức
bậc k nên để có (1) ta chọn g(n) là đa thức có bậc k+1 có hệ số tự do bằng không
và khi đó để xác định g(n) thì trong đẳng thức (1) ta cho k+1 giá trị của n bất kì
ta được hệ k+1 phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của g(n).
Nếu a 6= 1 thì g(n)-ag(n-1) là một đa thức cùng bậc với f(n) nên ta chọn g(n)
là đa thức bậc k và trong đẳng thức (1) ta cho k+1 giá trị của n thì ta xác định
được g(n).
Dạng 2. Dãy số {un} xác định bởi :
u1 = x0
un = aun−1 +b(α)
n
,∀n ≥ 2
, ta làm
như sau:
Nếu a = α ⇒ un = b(n−1)(α)
n +u1(α)
n−1
.
Nếu a 6= α ta phân tích (α)
n = k(α)
n −ak(α)
n−1
.
Khi đó un = a
n−1
(u1 −bk) +bk(α)
n
.
Ta tìm được: k =
α
α−a
.
Dạng 3. Dãy số {un} xác định bởi :
u1 = p
un = aun−1 +b(α)
n + f(n),∀n ≥ 2
,
trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k, ta phân tích (α)
n và f(n) như cách phân
tích ở trên.
Dạng 4. Dãy số {un} xác định bởi :
u1 = q
un+1 = g(un),∀n ≥ 1
, trong đó
g(un) là hằng đẳng thức đáng nhớ.
Dạng 5. Dãy số {un} xác định bởi: (
u1 = α
un =
p.un−1+q
r.un−1+s
,∀n ≥ 2
Để tìm công thức tổng quát ta làm như sau:
Đặt un = xn +t. Khi đó:
xn =
pxn−1+pt+q
run−1+rt+s −t =
(p−rt)xn−1−rt2+(p−s)t+q
rxn−1+rt+s
.
Ta chọn t sao cho: rt2 + (s − p)t − q = 0. Khi đó chuyển dữ kiện về dạng
1
xn
= a
1
xn−1
+b.
Đến đây ta chỉ việc chuyển đổi về CSN hoặc sử dụng hàm lặp đều được.
7
1.3.3. Phương trình sai phân
1.3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa 1.3.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
axn+1 +bxn = fn,n ∈ N
∗
trong đó a,b 6= 0. (1.1)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) là: xn = x
∗
n +x
′
n
.
1.3.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k
Phương pháp giải
A/ Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
1/ Giải phương trình đặc trưng
x0λ
k +x1λ
k−1 +...+xk−1λ +xk = 0 (1.2)
để tìm λ.
2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.
B/ Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất: Việc tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần
nhất cấp k làm tương tự khi tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến
tính cấp 1 và 2.
C/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k:
Nghiệm tổng quát có dạng xn = x
′
n +x
∗
n
Trong đó x
′
n
là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, x
∗
n
là nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất.
1.3.4. Lượng giác hóa
Dạng 1. Tìm công thức tổng quát của dãy số {un} có dạng :
u1 = m,m ∈ R
un = 2u
2
n−1 −1,∀n ≥ 2
ta làm như sau:
+ Nếu |m| ≤ 1, ta đặt u1 = cosα. Khi đó ta có un = cos2
n−1α.
+ Nếu m > 1 ta đặt u1 =
1
2
(a+
1
a
) trong đó a 6= 0 và cùng dấu với u1.
Khi đó u2 =
1
2
(a
2 +2+
1
a
2
)−1 =
1
2
(a
2 +
1
a
2
) ⇒ u3 =
1
2
(a
4 +
1
a
4
)...
8
Ta chứng minh được un =
1
2
a
2
n−1
+
1
a
2
n−1
,∀n ≥ 1.
Trong đó a là nghiệm cùng dấu với u1 của phương trình: a
2 −2u1a+1 = 0.
Vì phương trình này có hai nghiệm có tích bằng 1 nên ta có thể viết công
thức tổng quát của dãy như sau:
un =
1
2
h
(u1 −
q
u
2
1 −1)
2
n−1
+ (u1 +
q
u
2
1 −1)
2
n−1
i
.
Dạng 2. Tìm công thức tổng quát của dãy {un} có dạng
u1 = p, p ∈ R
un = u
3
n−1 −3un−1,∀n ≥ 2
ta làm như sau:
+ Nếu |p| ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [0;π] : cosα = p.
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : un = cos3
n−1α.
+ Nếu |p|> 1, ta đặt u1 =
1
2
(a+
1
a
) với a cùng dấu với u1
Bằng quy nạp ta chứng minh được
un =
1
2
a
3
n−1
+
1
a
3
n−1
.
Hay un =
1
2
"
u1 −
q
u
2
1 −1
3
n−1
+
u1 +
q
u
2
1 −1
3
n−1
#
.
Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên ta có thể tìm công thức tổng quát
của dãy số: un :
u1 = p
un = u
3
n−1 +3un−1,∀n ≥ 2
bằng cách đặt u1 =
1
2
(a−
1
a
).
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được
un =
1
2
a
3
n−1
−
1
a
3
n−1
.
Hay un =
1
2
"
u1 −
q
u
2
1 +1
3
n−1
+
u1 +
q
u
2
1 +1
3
n−1
#
.
Dạng 3. Để tìm công thức tổng quát của dãy số có dạng
u1 = a
un =
un−1+b
1−bun−1
,∀n ≥ 2
ta đặt:
a = tanα,b = tanβ, khi đó ta chứng minh được un = tan[α + (n−1)β].
Chú ý: Nếu un có thể đưa về công thức lượng giác quen thuộc và u1 là giá
trị lượng giác đặt biệt thì ta dùng phép thế lượng giác để tìm công thức tổng
quát của {un}.
9
1.4 LÝ THUYẾT GIỚI HẠN DÃY SỐ
1.4.1. Định nghĩa.
Ta nói rằng L là giới hạn của dãy số {un} nếu đối với mọi số dương ε tùy ý,
tồn tại số tự nhiên N sao cho ∀n ≥ N ta đều có |un −L| < ε
tức là L−ε < xn < L+ε.
Kí hiệu :
lim
n→∞
un = L ( hoặc limun = L, hoặc un → L khi n → ∞ ).
1.4.2. Các tính chất của dãy hội tụ
Định lý 1.4.1. Giới hạn một dãy số ( nếu có) là duy nhất.
Định lý 1.4.2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.4.3. Nếu |q| < 1 thì lim
n→∞
q
n = 0.
Định lý 1.4.4. Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng
giới hạn.
Định lý 1.4.5. (Các phép toán giới hạn)
1.4.3. Điều kiện hội tụ của một dãy số
Định nghĩa 1.4.1. Dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản ( hay là dãy Cauchy)
nếu ∀ε > 0 bao giờ cũng tồn tại p ∈ N
∗
sao cho ∀m,n > p ta có |xn −xm| < ε.
Định lý 1.4.6. (Nguyên lý Cauchy) Một dãy số hội tụ khi và chi khi nó là
dãy cơ bản.
Định lý 1.4.7. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì
hội tụ.
1.4.4. Định lí Lagrange
Định lý 1.4.8. (Định lý Lagrange) Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có
đạo hàm trên khoảng (a; b) khi đó tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(b)−f(a)
b−a = f
′
(x0).
10
1.4.5. Định lý kẹp giữa về giới hạn
Định lý 1.4.9. Cho ba dãy số {xn},{yn},{zn} trong đó lim
n→∞
xn = lim
n→∞
zn = A
( hữu hạn hoặc +∞ hoặc -∞) và ∃N0 mà ∀n ∈ N
∗
: n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn.
Khi đó lim
n→∞
yn = A.
1.4.6. Định lý Stolz
Định lý 1.4.10. (Định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số {xn} có giới hạn
hữu hạn là a thì dãy số các trung bình (x1 +x2 +...+xn)/n cũng có giới hạn là
a.
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
Nếu lim
n→∞
(xn+1−xn) = a thì lim
n→∞
xn
n = a . Đây là trường hợp đặc biệt của định
lý Stolz được phát biểu như sau:
Định lý 1.4.11. ( Định lý Stolz).
Cho {un},{vn} là các dãy số thỏa mãn: {vn} là dãy số tăng
và lim
n→∞
vn = +∞, lim
n→∞
un+1 −un
vn+1 −vn
= a. Khi đó lim
n→∞
un
vn
= a.
1.5 LÝ THUYẾT GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.5.1. Giới hạn hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1.5.1. ( Lân cận)
x0 ∈ R,α > 0,U(x0,α) = (x0 −α, x0 +α) lân cận tâm x0 bán kính α.
x ∈ U(x0,α) ⇔ x0 ∈ (x0 −α, x0 +α)
⇔ x0 −α < x < x0 +α
⇔ −α < x−x0 < α
⇔ |x−x0| < α.
U
∗
(x0,α) = (x0 −α, x0 +α)\x0 là lân cận thủng tâm x0, bán kính α.