Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

TRẦN ĐÌNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH

TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2016

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***…………

TRẦN ĐÌNH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH

TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 62 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. ĐẶNG QUANG Á

Hà Nội – 2016

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Đặng Quang

Á. Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung

thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, các

kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi

thiết kế và kiểm thử trên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung

thực. Những kết quả viết chung với Thầy hướng dẫn đã được sự đồng ý

khi đưa vào luận án.

Nghiên cứu sinh

Trần Đình Hùng

i

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy

hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á. Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận

tình, quí báu mà Thầy đã dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiện

luận án. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn và động

viên giúp tôi cảm thấy tự tin hơn, vượt qua được những khó khăn, vất vả

trong suốt quá trình nghiên cứu. Nhờ những ý tưởng mà Thầy đã gợi ý,

những tài liệu bổ ích mà Thầy đã cung cấp cùng với sự hướng dẫn, chỉ

bảo nhiệt tình của Thầy về công việc nghiên cứu, tôi đã hoàn thành đề tài

của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy và các cán bộ nghiên cứu trong

Viện Công nghệ thông tin. Trong thời gian qua, Viện CNTT đã tạo cho

tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi và thường xuyên có những lời

động viên, nhắc nhở giúp tôi thực hiện tốt công việc nghiên cứu đề tài.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm,

Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên

trong khoa, các bạn bè đồng nghiệp, đến gia đình và người thân đã động

viên khuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.

Xin chân thành cảm ơn.

ii

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

ABC Điều kiện biên nhân tạo

(Artificial Boundary Condition)

NRBC Điều kiện biên không phản xạ

(Non-Reflecting Boundary Condition)

UG Lưới đều (Uniform Grid)

Lr Lưới không đều với các bước lưới tăng dần

xbi+1 = xbi + bhi+1, i = 0, 1, ...,

bhi+1 = r

bhi

, i = 1, 2, ..., r > 1

HG Lưới tựa đều hyperbol (Hyperbolic Grid)

LG Lưới tựa đều logarithm (Logarithmic Grid)

TG Lưới tựa đều tangent (Tangential Grid)

h¯ Bước lưới nhỏ nhất trong lưới không đều h¯ = min

i≥1

bhi

.

bh Bước lưới lớn nhất trong lưới không đều bh = max

i≥1

bhi

.

error Sai số

∆ Toán tử Laplace

S Ma trận (sij )

M−1

1

, sij =

q

2

M

sin ijπ

M

, i, j = 1, 2, ..., M − 1

Λ Ma trận đường chéo [λ1, λ2, ..., λM−1],

λj = 2 cos jπ

M

, j = 1, 2, ..., M − 1

iii

Danh sách hình vẽ

2.1 Đồ thị hàm αi

, βi

,

βi

1−αi

với h = 0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 2.1.1. 41

2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với h = 0.1, ε = 0.01,

error = 0.0085 trong Ví dụ 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2. . . . . . . . . . . . 43

2.4 Đồ thị hàm βi

1−αi

trên lưới đều với h = 0.1, ε = 0.01, N =

911, error = 0.0084 trong Ví dụ 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Đồ thị hàm βi

1−αi

trên lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N =

50, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N =

50, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Đồ thị hàm βi

1−αi

trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

73, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

73, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9 Đồ thị hàm βi

1−αi

trên lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N =

89, j = 1, 2, ..., 10 trong Ví dụ 2.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.10 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.2.3. . . . . . . . . . . . 53

2.11 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 160 trong Ví

dụ 2.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.12 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 55 trong Ví dụ 2.3.1.57

iv

2.13 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 55

trong Ví dụ 2.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.14 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới đều với N = 258 trong Ví

dụ 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới Lr với N = 59 trong Ví dụ 2.3.2.59

2.16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trên lưới tựa đều HG với Nq = 100

trong Ví dụ 2.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε =

0.1 trong Ví dụ 3.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 trong

Ví dụ 3.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε =

0.1 trong ví dụ 3.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.01, h2 = 0.1, ε =

0.01 trong ví dụ 3.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.6 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε =

0.1 trong ví dụ 3.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 trong

ví dụ 3.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8 Đồ thị hàm βi,j

1−αi,j

với j = 1, 2, ..., 9, ε = 0.01, N = 70 trong

Ví dụ 3.1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.9 Đồ thị các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.1.7 . . . . . . . . . . . 82

3.10 Các điều kiện biên hỗn hợp và miền con . . . . . . . . . . . . . 84

3.11 Đồ thị hàm β

(10)

i,j

1−α

(10)

i,j

với j = 1, 2, ..., 15, τ = 0.5 trong Ví dụ 3.2.1.88

v

3.12 Đồ thị hàm β

(10)

i,j

1−α

(10)

i,j

với j = 1, 2, ..., 15, τ = 0.5, N(10) = 23

trong Ví dụ 3.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.13 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u

∂y (xi

, 0), i =

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ ∂u

∂y (xbi

, 0), i = 1, 2, ... với γ1 =

1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 40

trong Ví dụ 3.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.14 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u

∂y (xi

, 0), i =

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ ∂u

∂y (xbi

, 0), i = 1, 2, ... với γ1 =

10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 40

trong Ví dụ 3.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.15 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u

∂y (xi

, 0), i =

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ ∂u

∂y (xbi

, 0), i = 1, 2, ... với γ1 =

1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 41

trong Ví dụ 3.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.16 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u

∂y (xi

, 0), i =

0, 1, ..., N và hàm xấp xỉ ∂u

∂y (xbi

, 0), i = 1, 2, ... với γ1 =

10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N(10) = 41

trong Ví dụ 3.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.17 Đồ thị hàm β

1

i,j

1−α

1

i,j

,

β

0

i,j

1−α

0

i,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =

0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 3.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.18 Đồ thị hàm β

1

i,j

1−α

1

i,j

,

β

0

i,j

1−α

0

i,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =

0.1, ε = 0.1 trong Ví dụ 3.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.19 Đồ thị hàm β

1

i,j

1−α

1

i,j

,

β

0

i,j

1−α

0

i,j

và đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 =

0.1, ε = 0.01 trong Ví dụ 3.3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

vi

Danh sách bảng

1.1 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0000.m (Biên

Dirichlet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0001.m (Một

biên Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Kết quả kiểm tra độ chính xác của hàm RC0002.m (Hai

biên Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.1 . . . . . . . . . . 41

2.2 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.1.2 . . . . . . . . . . 42

2.3 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.1 . . . . . . . . . . 49

2.4 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.2 . . . . . . . . . . 51

2.5 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 2.2.3 . . . . . . . . . . 52

3.1 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.1 . . . . . . . . . . 73

3.2 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.2 . . . . . . . . . . 74

3.3 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.3 . . . . . . . . . . 75

3.4 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.1.4 . . . . . . . . . . 77

3.5 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.5 . . . . . . . . . 80

3.6 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.6 . . . . . . . . . 81

3.7 Sự hội tụ của 2 phương pháp trong Ví dụ 3.1.7 . . . . . . . . . 81

3.8 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2.1 . . . . . . . . . . 88

3.9 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.2.2 . . . . . . . . . . 89

vii

3.10 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 trong Ví dụ 3.2.390

3.11 Sự hội tụ của phương pháp với γ1 = 10, γ2 = 1 trong Ví dụ 3.2.491

3.12 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.1 . . . . . . . . . . 100

3.13 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.2 . . . . . . . . . . 101

3.14 Sự hội tụ của phương pháp trong Ví dụ 3.3.3 . . . . . . . . . . 102

viii

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu . . . . . . . . . iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ . . . . . . . 8

1.1. Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình

vô hướng ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Phương pháp truy đuổi từ phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. Phương pháp truy đuổi từ hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3. Tính khả thi và ổn định của phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2. Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3. Hệ chính quy và hoàn toàn chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. Lưới tựa đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Giới thiệu về thư viện chương trình giải bài toán elliptic trong miền

chữ nhật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1. Bài toán biên Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chương 2. Phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán biên tuyến

tính một chiều trên nửa trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.0. Phương pháp chặt cụt một loại phương trình sai phân ba điểm 29

ix

2.1. Phương pháp hệ vô hạn giải bài toán dừng một chiều trên nửa trục

33

2.1.1. Mô tả phương pháp hệ vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.2. Sử dụng lưới không đều và lưới tựa đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.3. Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và

lưới tựa đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2. Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình parabolic trên thanh nửa

vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1. Mô tả phương pháp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2. Kết quả thử nghiệm và so sánh hai phương pháp hệ vô hạn và

lưới tựa đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3. Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình dạng phức hợp . . . . . 54

2.3.1. Phát biểu bài toán và mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.2. Ví dụ số và so sánh các phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Chương 3. Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên tuyến

tính hai chiều trong nửa dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1. Phương pháp hệ vô hạn giải một bài toán elliptic trong nửa dải 62

3.1.1. Xây dựng lược đồ sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2. Sự ổn định và hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.3. Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1.4. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.1.5. So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều và phương

pháp lưới tựa đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2. Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp

mạnh trong nửa dải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.1. Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

x