Phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐOÀN THỊ HOÀNG TRANG

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ Toán học họp tại Trường Đại học Sư Pham - Đại

học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 6 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng;

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệm cho

bài toán cực trị có điều kiện. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển việc giải

bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cực trị tự do. Các

loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm trong, hàm

phạt Lagrange. Trong chương trình toán đại học, phương pháp này hầu như chưa

được giới thiệu. Hơn nữa, hầu hết các giáo trình tiếng Việt, chưa trình bày một

cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phương pháp hàm phạt.

Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trình dành

cho học viên cao học. Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều

kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúp học viên có cái nhìn

tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến. Việc nắm

chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải cũng

giúp cho học viên có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều kiện, cũng như

các phương pháp hàm phạt để giải các bài toán đó; được sự đồng ý hướng dẫn

của thầy giáo TS. Phạm Quý Mười, em đã chọn đề tài: “Phương pháp hàm phạt

cho bài toán cực trị có điều kiện” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

- Nắm được bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều kiện cần và đủ

của cực trị.

- Phương pháp hàm phạt và ứng dụng để giải bài toán cực trị.

- Sáng tạo được bài toán mới vận dụng phương pháp này.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp hàm phạt để giải bài toán cực trị trong hình học và đại số trong

chương trình toán ở cấp đại học và trong một số ứng dụng.

4. Phương pháp nghiên cứu

2

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu trong và nước

ngoài. Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về phương pháp

hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện cũng như phương pháp giải các bài

toán đó.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa, định lí liên

quan đến luận văn. Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi và

một số định lí quan trọng như định lí giá trị trung bình và đa thức Taylor.

Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi

phương trình và bất phương trình.

Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả vi, không

khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, các định nghĩa tập mở, tập đóng,

tập compact, tập lồi và một số định lí quan trọng như định lí giá trị trung bình

và đa thức Taylor.

1.1. Các kí hiệu đại số

Chúng ta kí hiệu R là trường số thực và R

n

là không gian gồm tất cả các vector

thực n chiều. Cho bất kỳ tập con S ⊂ R bị chặn trên (chặn dưới), chúng ta kí

hiệu sup S (inf S) là cận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của S. Nếu S không

bị chặn trên (dưới), chúng ta viết sup S = ∞ (inf S = −∞). Trong luận văn

này, mỗi vector được xem xét là một vector cột. Phép chuyển vị của ma trận A

cỡ m × n được kí hiệu là A0

. Một vector x ∈ R

n được xem như một ma trận cỡ

n × 1, và do đó x

0

là một ma trận cỡ 1 × n hoặc vector hàng. Nếu x1, ..., xn là các

tọa độ của vector x ∈ R

n

, ta viết x = (x1, x2, ..., xn)

T

. Chúng ta cũng viết

x ≥ 0 nếu xi ≥ 0, ∀i = 1, ..., n,

x ≤ 0 nếu xi ≤ 0, ∀i = 1, ..., n.

Một ma trận đối xứng A cỡ n × n được gọi là nửa xác định dương nếu x

0Ax ≥

0, ∀x ∈ R

n

. Trong trường hợp này chúng ta viết

A ≥ 0.

Một ma trận đối xứng A được gọi là xác định dương nếu x

0Ax > 0, ∀x ∈

R

n

, x 6= 0 và viết

A > 0.

Chúng ta biết rằng một ma trận A đối xứng cỡ n × n có n giá trị riêng thực

γ1, γ2, ..., γn và tương ứng có n vector riêng thực khác không e1, e2, ..., en đôi một

trực giao. Khi đó, ta có

γx0x ≤ x

0Ax ≤ Γx

0x, ∀x ∈ R

n

, (1.1)

trong đó

γ = min{γ1, ..., γn}, Γ = max{γ1, ..., γn}.

Cho x là vector riêng ứng với giá trị riêng Γ(γ), bất phương trình ở bên phải

4

(trái) trong công thức (1.1) sẽ trở thành phương trình. Do đó, A > 0 (A ≥ 0),

nếu và chỉ nếu các giá trị riêng của A là dương (không âm).

Nếu A xác định dương thì tồn tại duy nhất một ma trận xác định dương có

bình phương bằng A. Đây là ma trận có cùng các vector riêng như ma trận A và

có giá trị riêng bằng căn bậc hai giá trị riêng của A. Chúng ta kí hiệu ma trận

này là A1/2

.

Cho A và B là hai ma trận vuông và C là một ma trận có kích thước phù hợp.

Đẳng thức thường được sử dụng:

(A + CBC0

)

−1 = A

−1 − A

−1C(B

−1 + C

0A

−1C)

−1C

0A

−1

là đúng nếu tất cả các ma trận nghịch đảo xuất hiện ở trên tồn tại. Đẳng thức

có thể được chứng minh bằng cách nhân phía bên phải bởi (A + CBC0).

Xét một ma trận vuông M có dạng

M =



A B

C D 

.

Khi đó, ta có:

M−1 =



Q − QBD−1

−D−1CQ D−1 + D−1CQBD−1



,

trong đó

Q = (A − BD−1C)

−1

,

với điều kiện tất cả các ma trận nghịch đảo xuất hiện ở trên tồn tại. Chứng minh

được thực hiện bằng cách nhân M với biểu thức cho M−1 nêu trên.

1.2. Các kí hiệu tôpô

Chúng ta sẽ sử dụng chuẩn Euclide trong không gian R

n và được kí hiệu là | · |,

tức là, đối với một vector x ∈ R

n

, chúng ta viết

|x| =

√

x

0x.

Chuẩn Euclide của một ma trận A cỡ m × n sẽ được kí hiệu là | · |. Nó được

xác định bởi

|A| = max

x6=0

|Ax|

|x|

= max

x6=0

√

x

0A0Ax

√

x

0x

.

Từ công thức (1.1), ta có

|A| =

q

giá trị riêng lớn nhất của(A0A).

Nếu ma trận A là đối xứng, và λ1, ..., λn là các giá trị riêng (thực) của A, thì

5

các giá trị riêng của A2

là λ

2

1

, ..., λ2

n

, và chúng ta thu được

|A| = max{|λ1|, ..., |λn|}.

Một dãy các vectơ x0, x1, ..., xk, ..., trong R

n

, được kí hiệu là {xk}, được gọi là

hội tụ đến một vector x nếu |xk − x| → 0 khi k → ∞ (có nghĩa là, với mọi  > 0,

luôn tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi k ≥ N chúng ta có |xk − x| < ).

Nếu {xk} hội tụ đến x, chúng ta viết xk → x hoặc lim

k→∞

xk = x. Tương tự, cho

một dãy các ma trận {Ak} cỡ m × n, chúng ta viết Ak → A hoặc lim

k→∞

Ak = A

nếu |Ak − A| → 0 khi k → ∞. Sự hội tụ của cả dãy vector và ma trận tương

đương với sự hội tụ của mỗi dãy các tọa độ hoặc các phần tử cùng một vị trí của

chúng.

Cho dãy {xk}, dãy con {xk|k ∈ K} tương ứng với một tập chỉ số vô hạn

K ⊂ N được kí hiệu {xk}K. Một vector x được gọi là một điểm giới hạn của dãy

{xk} nếu có một dãy con {xk}K hội tụ đến x.

Mọi dãy các số thực {rk} đơn điệu tăng (giảm), tức là thỏa mãn rk ≤ rk+1 (rk ≥

rk+1) với mọi k, phải hội tụ đến một số thực hoặc +∞ (−∞). Trong trường hợp

sau cùng chúng ta viết lim

k→∞

rk = +∞ ( lim

k→∞

rk = −∞). Cho bất kì dãy số thực bị

chặn {rk}, chúng ta xét dãy {sk} trong đó sk = sup{ri|i ≥ k}. Vì dãy này đơn

điệu giảm và bị chặn dưới, nên nó có giới hạn, được gọi là giới hạn trên của {rk}

và được kí hiệu bởi lim sup

k→∞

rk. Chúng ta định nghĩa tương tự cho giới hạn dưới

của {rk} và kí hiệu bằng lim inf

k→∞

rk. Nếu {rk} không bị chặn trên, chúng ta có

lim sup

k→∞

rk = +∞, và nếu nó không bị chặn dưới, chúng ta có lim inf

k→∞

rk = −∞.

1.3. Tập mở, tập đóng và tập compact

Cho một vector x ∈ R

n và một số thực  > 0, chúng ta kí hiệu hình cầu mở với

tâm tại x với bán kính  > 0 bởi S(x;), tức là,

S(x;) = {z||z − x| < }. (1.2)

Định nghĩa 1.3.1. Một tập con S của R

n được gọi là tập mở, nếu với mọi vector

x ∈ S, tồn tại một  > 0 sao cho S(x;) ⊂ S.

Nếu S là tập mở và x ∈ S, thì S(x;) ⊂ S được gọi là một lân cận của x.

Phần trong của một tập S ⊂ R

n

là tập tất cả các phần tử x ∈ S sao cho tồn tại

 > 0 thỏa mãn S(x;) ⊂ S.

Định nghĩa 1.3.2. Một tập con S được gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu phần bù

của nó trong R

n

là tập mở.