Phương pháp giảm cơ sở giải phương trình Elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THÙY NHUNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THÙY NHUNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục

Tóm tắt nội dung iii

Lời cảm ơn iv

Mở đầu 1

0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Dạng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số . . . . . . 8

1.3.1 Sự phụ thuộc affine vào tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Tính bức phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Phương pháp giảm cơ sở 11

2.1 Không gian hàm và dạng yếu của phương trình elliptic . . . . . . . . . 11

2.1.1 Dạng yếu phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

ii

2.1.2 Tích vô hướng và chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Không gian và cơ sở xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Rời rạc hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Phép chiếu Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Giảm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Không gian và cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Phép chiếu lên không gian số chiều nhỏ . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 Phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Thủ tục tính toán Online- Offline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Thuật toán Greedy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Ước lượng sai số hậu nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.1 Cận dưới của hằng số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.2 Cận trên của hằng số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.3 Những kiến thức cần thiết khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.4 Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.5 Cận của sai số tương ứng với chuẩn trên X . . . . . . . . . . . 30

3 Ví dụ số 32

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35