Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức

§¹i häc §µ N½ng

Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m

NguyÔn §øc TuÊn

Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn vµ ph­¬ng ph¸p gi¶m

biÕn trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc

LuËn v¨n Th¹c sÜ Khoa häc

Chuyªn ngµnh: Ph­¬ng ph¸p To¸n s¬ cÊp

§µ N½ng, N¨m 2020

§¹i häc §µ N½ng

Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m

NguyÔn §øc TuÊn

Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn vµ ph­¬ng ph¸p gi¶m

biÕn trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc

LuËn v¨n Th¹c sÜ Khoa häc

Chuyªn ngµnh: Ph­¬ng ph¸p To¸n s¬ cÊp

M· sè: 8.46.01.13

C¸n bé h­íng dÉn khoa häc

PGS. TS. TrÇn V¨n ¢n

§µ N½ng, N¨m 2020

Danh s¸ch Héi ®ång chÊm luËn v¨n Th¹c sÜ khoa häc

(Theo QuyÕt ®Þnh sè 627/Q§-§HSP ngµy 04 th¸ng 5 n¨m 2020

cña HiÖu tr­ëng Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m, §¹i häc §µ N½ng)

Häc hµm, häc vÞ, Hä vµ tªn C¬ quan c«ng t¸c Chøc danh trong Héi ®ång

TS. L­¬ng Quèc TuyÓn §HSP §µ N½ng Chñ tÞch Héi ®ång

TS. Ch÷ V¨n TiÖp §HSP §µ N½ng Ph¶n biÖn 1

TS. TrÇn §øc Thµnh §H Vinh Ph¶n biÖn 2

TS. NguyÔn Thµnh Chung §H Qu¶ng B×nh ñy viªn

TS. Hoµng NhËt Quy §HSP §µ N½ng ñy viªn th­ ký

X¸c cña nhËn cña Ng­êi h­íng dÉn

Häc viªn ®· chØnh söa LuËn v¨n theo ý kiÕn cña Héi ®ång chÊm LuËn v¨n.

Ngµy 05 th¸ng 6 n¨m 2020

PGS.TS. TrÇn V¨n ¢n

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i. C¸c kÕt qu¶

trong luËn v¨n ®­îc sö dông vµ trÝch dÉn chÝnh x¸c, râ rµng.

§µ N½ng, ngµy 05 th¸ng 6 n¨m 2020

Ng­êi cam ®oan

NguyÔn §øc TuÊn

i

Lêi c¶m ¬n

LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m, §¹i häc §µ N½ng

d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o PGS.TS. TrÇn V¨n ¢n. T¸c gi¶

xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®Õn ThÇy. Nh©n dÞp nµy t¸c gi¶ xin ch©n

thµnh c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm khoa To¸n, Phßng ®µo t¹o §¹i häc-Sau ®¹i häc,

quý thÇy, c« gi¸o trong khoa khoa To¸n, Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m, §¹i häc

§µ N½ng ®· gióp ®ì trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n.

Cuèi cïng xin c¶m ¬n, gia ®×nh, c¬ quan, c¸c ®ång nghiÖp, b¹n bÌ ®Æc biÖt lµ

c¸c häc viªn cao häc khãa 36 Ph­¬ng ph¸p To¸n s¬ cÊp t¹i Tr­êng §¹i häc S￾ph¹m, §¹i häc §µ N½ng ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi gióp t¸c gi¶ hoµn thµnh

nhiÖm vô trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp.

MÆc dï cã nhiÒu cè g¾ng, song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt.

T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña quÝ ThÇy C« vµ b¹n

®äc ®Ó luËn v¨n ®­îc hoµn thiÖn.

§µ N½ng, ngµy 05 th¸ng 6 n¨m 2020

Häc viªn

NguyÔn §øc TuÊn

ii

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài: Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh

bất đẳng thức.

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Họ và tên học viên: Nguyễn Đức Tuấn

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Văn Ân

Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP- Đại học Đà Nẵng.

Tóm tắt:

Luận văn “Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh

bất đẳng thức” đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đã đạt được

các vấn đề sau:

1) Phân tích được các trường hợp sử dụng phương pháp đổi biến trong chứng

minh bất đẳng thức, trong đó chúng tôi đã đi sâu phân tích phép thế Ravi, phép thế

đại số, phép thế lượng giác. Đối với các phép thế nêu trên, chúng tôi đã làm rõ được

từng trường hợp cụ thể và cách đổi biến tương ứng. Mỗi trường hợp đều có ví dụ

minh họa. Đặc biệt đối với phép thế Ravi, chúng tôi đã tổng quát hóa các trường hợp

có thể xảy ra.

2) Phân tích được các trường hợp sử dụng phương pháp giảm biến trong chứng

minh bất đẳng thức. Đây là một phương pháp mới và khó nhưng hầu như chưa được

đưa vào chương trình giáo dục phổ thông. Với phương pháp này, chúng tôi đã đi sâu

phân tích các cách giảm biến gồm: Giảm biến theo trung bình cộng, giảm biến theo

trung bình nhân, chuẩn hóa và giảm biến, đưa về một biến; đối với từng trường hợp

đều có các ví dụ minh họa.

3) Phân chia bất đẳng thức thành 4 dạng cơ bản: Bất đẳng thuần nhất, bất đẳng

không thuần nhất, bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức có

điều kiện. Trong mỗi loại bất đẳng thức nêu trên, chúng tôi đều làm rõ khái niệm và

nhắc lại một số kiến thức có liên quan sau đó áp dụng Phương pháp đổi biến và

phương pháp giảm biến để chứng minh một số ví dụ về từng dạng bất thức nêu trên.

Tuy nhiên, phương pháp giảm biến mới chỉ xét đến trường hợp giảm biến về

hai biến bằng nhau và lấy ví dụ đối với bất đẳng thức 3 biến. Vì vậy, hướng phát triển

của luận văn là tiếp tục nghiên cứu về các trường hợp giảm biến ra biên và mở rộng

việc áp dụng các phương pháp này cho các dạng bất đẳng nhiều hơn 3 biến.

Từ khóa: Đổi biến, giảm biến, dồn biến, phép thế.

Cán bộ hướng dẫn xác nhận

PGS. TS. Trần Văn Ân

Học viên

Nguyễn Đức Tuấn

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: Equation infinitive solution

Major: Elementary Mathematics Methods

Full name of Master student: Nguyen Duc Tuan

Supervisors: PGS. TS. Tran Van An

Training institution: The University of Education-University of Da Nang

Abstract:

The thesis "The method of changing variables and the method of reducing

variables in proving the inequality" has achieved the objectives and tasks,

specifically, the thesis has achieved the following issues:

1) Analyze the cases of using the variable method in proving the inequality, in

which we have in-depth analysis of the change of the Ravi variable, algebraic change,

trigonometric change. For the above changes, we have clarified each specific case

and how to change the corresponding variable. Each case has an example. Especially

for the Ravi modification, we have generalized the possible cases.

2) Analyze the cases using the method of reducing variables in the proof of

inequality. This is a new and difficult method, but has not been included in the

general education curriculum yet. With this method, we have deeply analyzed the

ways of reducing variables including: Decreasing the variable by the average,

reducing the variable by the mean, normalizing and reducing the variable, bringing

about a variable; For each case, there are illustrative examples.

3) Divide the inequality into 4 basic forms: homogeneous inequalities,

inhomogeneous inequalities, inequalities of the three sides of a triangle, and

conditional inequalities. In each of the above inequalities, we clarify the concept and

recall some relevant knowledge then apply the Variable method and the variable

reduction method to prove some examples of each. unconscious form above.

However, the method of reducing variables only considers the case of reducing

the variables to two equal variables and taking the example of the 3 variable

inequality. Therefore, the development direction of the thesis is to continue

researching the cases of reducing variables to the boundary and extending the

application of these methods to the inequalities form more than 3 variables.

Keywords: Change variables, reduce variables, multiply variables, surrogates.

Supervior’s confirmation

PGS. TS. Tran Van An

Student

Nguyen Duc Tuan