Phép toán hai ngôi

Hà Văn Tùng

Bài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:

(i): x * y = x + y +xy, với x ,y ∈ ℝ

(ii) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ

a) Tìm - 3 * 4; 0 ⊗ n; 3 ⊗ 4.

b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.

B ài làm

a) * : R * R → R

(x,y)  x * y = x + y + xy

Tương ứng * là một ánh xạ vì:

∀ x, y ∈ ℝ ta có x + y + xy = x * y ∈ ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.

Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11

b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.

- Tính giao hoán:

∀ x, y ∈ ℝ , ta có:

x * y = x + y + xy

→ x* y = y *x

y * x = y + x + yx

Nên phép tính * có tính chất giao hoán.

- Tính kết hợp:

∀ x, y , z ∈ ℝ , ta có:

( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z

= x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1)

x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z)

= x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)

Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập:

Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ∀ x ∈ ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x

- Tìm phần tử đối xứng:

Với ∀ x, y ∈ R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = -

Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0

(ii) a) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ.

⊗ : N x N → N

(m,n)  m ⊗ n = m + 2n

Tương ứng ⊗ là một ánh xạ vì:

∀ m , n ∈ ℕ ⇒ m + 2n ∈ ℕ

T a có 0 ⊗ n = 0 + 2n = 2n, 3 ⊗ 4 = 3 + 4.2 = 11

• Xét các phần tử đặc biệt

- Tính giao hoán:

∀ x, y ∈ ℕ , ta có:

Trang 1