Phép tính xấp xỉ trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TRẦN VĂN PHƯỚC

PHÉP TÍNH XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Phản biện 1:

.................................................

Phản biện 2:

.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

09 tháng 09 năm 2017

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển vượt bậc của toán học ứng dụng, nhiều bài toán thực

tế liên quan đến lý thuyết tối ưu, hệ phương trình đòi hỏi các công cụ mới của

giải tích không trơn khi mà các công cụ của giải tích cổ điển và giải tích lồi không

đáp ứng được. Vì vậy, xuất hiện ngày càng nhiều các khái niệm mở rộng về phép

tính vi phân của hàm không khả vi, thậm chí là không liên tục. Một trong những

khái niệm mới đó là “dưới vi phân xấp xỉ” cho hàm nửa liên tục dưới trong không

gian Hilbert, mà được định nghĩa dựa vào khái niệm “vec-tơ pháp xấp xỉ” của tập

trên đồ thị của hàm số.

Như chúng ta đã biết, nếu f là hàm số khả vi tại một điểm x thì (f

0

(x), −1)

là vec-tơ pháp của epi f tại điểm (x, f(x)). Sử dụng ý tưởng này, trước hết người

ta định nghĩa khái niệm “vec-tơ pháp xấp xỉ” và sau đó là “dưới vi phân xấp xỉ”.

Cụ thể, nếu S là một tập đóng trong không gian Hilbert X và s ∈ S thì v được

gọi là vec-tơ pháp xấp xỉ của S tại s nếu tồn tại số dương t đủ bé sao cho s là

điểm chiếu của điểm s + tv lên S. Bây giờ cho f là một hàm nửa liên tục dưới

trên một không gian Hilbert X, ta nói u ∈ X là một dưới gradient xấp xỉ của

f tại x nếu (u, −1) là một vec-tơ pháp xấp xỉ của tập epi f tại điểm (x, f(x)).

Tập hợp tất cả các dưới gradient xấp xỉ của f tại x được gọi là dưới vi phân xấp

xỉ của f tại điểm đó. Đây là một khái niệm mới mà trùng với khái niệm dưới vi

phân khi f lồi. Sử dụng khái niệm vi phân mới này, chúng ta nhận được nhiều

kết quả thú vị về điều kiện cực trị của bài toán tối ưu hạn chế trên không gian

Hilbert. Ngoài ra, việc khảo sát vi phân của hàm khoảng cách đến một tập hợp

cũng thuận lợi hơn rất nhiều.

Qua việc nghiên cứu các khái niệm vec-tơ pháp xấp xỉ, dưới vi phân xấp xỉ

cùng các ứng dụng của chúng, em hy vọng rằng, ngoài việc rèn luyện thêm các

kỹ năng về toán, em sẽ tự trang bị cho mình một công cụ mới thay thế cho các

khái niệm vi phân cổ điển để giải quyết nhiều bài toán thực tế ngày càng phức

tạp. Vì vậy, được sự đồng ý hướng dẫn của PGS. Huỳnh Thế Phùng, em chọn đề

tài “Phép tính xấp xỉ trong không gian Hilbert” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

2

Nghiên cứu khái niệm nón pháp xấp xỉ và từ đó tiến đến khái niệm dưới vi

phân xấp xỉ của các hàm nửa liên tục dưới trên không gian Hilbert, cùng một số

ứng dụng của chúng trong nghiên cứu lý thuyết tối ưu và khảo sát hàm khoảng

cách.

Trình bày khái niệm vec-tơ pháp xấp xỉ, nón pháp xấp xỉ và đặc trưng của

chúng. Khảo sát nón pháp xấp xỉ của các trường hợp đặc biệt như tập lồi, đa

tạp khả vi. Trình bày khái niệm dưới vi phân xấp xỉ, mối quan hệ với các khái

niệm vi phân đã có như đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Frechét, dưới vi phân hàm

lồi. Khảo sát tính khả dưới vi phân xấp xỉ của hàm khoảng cách và các ứng dụng

trong tối ưu hóa

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giải tích không trơn trong không gian Hilbert

4. Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Phép tính xấp xỉ trong không gian Hilbert” tôi đã sử dụng

các phương pháp nghiên cứu sau: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài,

bao gồm các tài liệu kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo

tổng quan. Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.

Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các phép tính

vi phân xấp xỉ trong không gian Hilbert.

Bổ sung các ví dụ và chứng minh chi tiết.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Không gian Hilbert.

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, định lý cơ bản về giải

tích hàm và giải tích lồi bao gồm khái niệm không gian Hilbert, đặc điểm của

chuẩn Euclide, hàm khoảng cách đến một tập đóng và ánh xạ chiếu lên một tập

đóng.

Chương 2: Nón pháp xấp xỉ.

Trong chương này, luận văn sẽ đưa ra các định nghĩa, những ví dụ về đặc trưng

của vec-tơ pháp xấp xỉ cho hai trường hợp tập lồi và trường hợp đa tạp khả vi.

3

Chương 3: Dưới gradient xấp xỉ.

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày lại một số khái niệm cơ bản dưới

gradient trong giải tích lồi và giải tích Lipschitz, từ đó đưa ra khái niệm cho hàm

nửa liên tục dưới, những đặc trưng của dưới gradient xấp xỉ cũng như mối quan

hệ với các khái niệm đạo hàm cổ điển. Ngoài ra trong chương này luận văn cũng

nêu ra một số phép toán cơ bản của dưới vi phân xấp xỉ và tính khả dưới vi phân

trù mật.

Chương 4: Một số ứng dụng.

Trong chương cuối cùng, chúng tôi sẽ khảo sát những ứng dụng của dưới vi

phân xấp xỉ của các hàm là tổng chập cực tiểu với hàm toàn phương, hàm fα,

hàm khoảng cách và hàm Lipschitz.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, định lý cơ bản về giải

tích hàm và giải tích lồi bao gồm khái niệm không gian Hilbert, đặc điểm của

chuẩn Euclide, hàm khoảng cách đến một tập đóng và ánh xạ chiếu lên một tập

đóng.

1.1. KHÔNG GIAN TIỀN HILBERT

Định nghĩa 1.1.1 (Tích vô hướng). Cho X là một không gian vectơ trên trường

số thực R. Tích vô hướng trên X là một ánh xạ h·, ·i : X × X → R, xác định như

sau:

(x, y) ∈ X × X 7→ hx, yi ∈ R,

thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) Với mọi x ∈ X, ta có hx, xi ≥ 0. Ngoài ra, hx, xi = 0 ⇔ x = 0.

2) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X.

3) hx + z, yi = hx, yi + hz, yi, ∀x, z, y ∈ X.

4) hλx, yi = λ hx, yi ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R.

Số thực hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp (X,h., .i)

được gọi là không gian tiền Hilbert.

Từ định nghĩa, ta thấy

h0, yi = 0, ∀ y ∈ X.

Dễ thấy R

n với tích vô hướng thông thường sau đây là một không gian tiền

Hilbert:

hx, yi =

X

n

i=1

xiyi

, ∀ x, y ∈ R

n

.

Một không gian khác cũng khá quen thuộc là l

2

gồm các dãy số thực bình phương

khả tổng:

l

2 = {x = (xn) ∈ R |

X

∞

n=1

x

2

n < ∞},

5

với tích vô hướng:

hx, yi =

X

∞

n=1

xnyn; ∀ x = (xn), y = (yn) ∈ l

2

.

Định lí 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Cho X là không gian tiền Hilbert.

Ta có

hx, yi

2 ≤ hx, xi hy, yi, ∀x, y ∈ X (1.1)

Chứng minh. Định lý hiển nhiên đúng với x = 0. Với x 6= 0 ta có hx, xi > 0. Ta

xét tam thức bậc 2 theo t ∈ R:

0 ≤ f(t) = htx − y, tx − yi = hx, xit

2 − 2 hx, yit + hy, yi.

Vì f(t) ≥ 0, ∀t ∈ R mà hệ số hx, xi > 0, nên

∆

0 = hx, yi

2 − hx, xihy, yi ≤ 0,

đó là điều cần phải chứng minh.

Nếu X là không gian tiền Hilbert thì k · k xác định bởi

kxk := hx, xi

1/2

, x ∈ X

là một chuẩn trên X.

Định lí 1.1.3. Cho (X,h·, ·i) là một không gian tiền Hilbert. Khi đó

hx, yi : X × X → R

là một hàm liên tục trên X × X.

Định lí 1.1.4 (Đẳng thức hình bình hành). Với mọi x, y ∈ X ta có:

kx + yk

2 + kx − yk

2 = 2(kxk

2 + kyk

2

). (1.2)

Chứng minh.

kx + yk

2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi = kxk

2 + 2hx, yi + kyk

2

,

kx − yk

2 = hx − y, x − yi = hx, xi − 2hx, yi + hy, yi = kxk

2 − 2 hx, yi + kyk

2

.

Cộng hai đẳng thức trên, vế theo vế, ta nhận được (1.2).

Hệ quả 1.1.5 (Đẳng thức Apollonius). Với mọi x, y, z ∈ X ta có đẳng thức:

2(kx − yk

2 + kx − zk

2

) = 4

x −

y + z

2

2

+ ky − zk

2

. (1.3)

Chứng minh.

4

x −

y + z

2

2

= k(x − y) + (x − z)k

2 = kx − yk

2+kx − zk

2+2 hx − y, x − zi;