Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - năm 2009

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu 2

1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n. 4

1.1 TËp låi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Tæ hîp låi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 TËp a-phin, tËp låi ®a diÖn. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Nãn låi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Hµm låi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 PhÐp chiÕu lªn tËp låi ®ãng. 18

2.1 §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 H×nh chiÕu cña mét ®iÓm lªn mét sè tËp quen thuéc. . . . . . . 24

3 Mét sè øng dông cña phÐp chiÕu. 28

3.1 §Þnh lý t¸ch tËp låi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 D­íi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lêi nãi ®Çu

Gi¶i tÝch låi lµ bé m«n c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, nghiªn cøu vÒ tËp låi

vµ hµm låi cïng nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan. Bé m«n nµy cã vai trß quan träng

trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc øng dông, ®Æc biÖt lµ trong tèi

­u hãa, bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, c¸c bµi to¸n c©n b»ng...

Mét trong nh÷ng vÊn ®Ò quan träng cña gi¶i tÝch låi ®ã lµ phÐp chiÕu

vu«ng gãc. §©y lµ mét c«ng cô s¾c bÐn vµ kh¸ ®¬n gi¶n ®Ó chøng minh

nhiÒu ®Þnh lý quan träng nh­ §Þnh lý t¸ch, §Þnh lý xÊp xØ tËp låi, §Þnh lý vÒ

tån t¹i nghiÖm cña BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n...Nh÷ng c¸ch chøng minh dùa

vµo phÐp chiÕu th­êng mang tÝnh chÊt kiÕn thiÕt, gîi më ®Õn nhiÒu vÊn ®Ò

kh¸c.

Trong luËn v¨n nµy, chóng t«i tËp trung vµo viÖc tr×nh bµy ®Þnh nghÜa c¸c

kh¸i niÖm, tÝnh chÊt cïng nh÷ng øng dông quan träng cña phÐp chiÕu. Dùa

vµo ®ã, chóng t«i giíi thiÖu thuËt to¸n ®Ó t×m nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng

thøc biÕn ph©n. Gi¶i quyÕt ®­îc bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n th× chóng

ta cã thÓ ®­a ra lêi gi¶i cho rÊt nhiÒu vÊn ®Ò kh¸c. Bëi v× nhiÒu bµi to¸n trong

tèi ­u hãa, ph­¬ng tr×nh vËt lý to¸n vµ nhiÒu vÊn ®Ò trong kinh tÕ, kü thuËt

giao th«ng ®« thÞ...®Òu ®­îc m« t¶ d­íi d¹ng ®ã.

§Ò tµi bao gåm 3 ch­¬ng. Trong Ch­¬ng 1, tr­íc hÕt chóng t«i tr×nh bµy

mét sè kiÕn thøc c¬ së cña tËp låi vµ hµm låi. Chóng lµ nh÷ng c«ng cô c¬

b¶n nhÊt cho nh÷ng nghiªn cøu ®­îc tr×nh bµy trong luËn v¨n.

Ch­¬ng 2 lµ mét ch­¬ng chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch­¬ng nµy chóng

t«i dµnh ®Ó nãi riªng vÒ kh¸i niÖm, tÝnh chÊt c¬ b¶n cña phÐp chiÕu. §Æc

biÖt chóng t«i tr×nh bµy c«ng thøc x¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña mét ®iÓm lªn siªu

hép, h×nh cÇu vµ kh«ng gian con cña R

n

.

Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu vÒ phÐp chiÕu vu«ng gãc, chóng ta biÕt r»ng

h×nh chiÕu vu«ng gãc cña mét ®iÓm lªn tËp låi ®ãng, kh¸c rçng trong R

n

lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. Dùa vµo ®ã, chóng t«i ®Ò cËp ®Õn nh÷ng øng dông

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn