Phần 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh năng khiếu – Bộ môn Số học và hình học lớp 6 – THCS

Phần II:

TÍNH CHIA ĐÚNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN

SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN

I. Tính chia hết của các số nguyên:

1. Định ngh ĩa:

a gọi là chia hết cho b khi nào đạt được ba điều kiện sau:

* a = bq (r = 0)

* a = kb (k là số nguyên, a là bội của b)

*

a

b =

k

(k là số nguyên, b là ước của a)

Đặc biệt : Số 0 chia hết cho tất cả các số.

2. Tính chia hết:

a. Hai số a và a/

chia đúng cho d thì tổng của chúng cũng chia hết

cho d.

Chứng minh :

Vì a = dq và a/

= dq/

nên a ( )

/ / ± = ± a d q q

Hệ quả: Một tổng đại số chia hết cho một số khi từng số hạng của

tổng chia hết cho số đó.

b. Tích của nhiều số chia hết cho một số khi một thừa số của tích

chia hết cho số đó.

Hệ quả:

m

a d ka d (Béi sè cña a d)

a d a d

Þ

Þ

M M M

M M

c. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết

cho m thì a + b và a – b đề không chia hết cho m. Nếu tổng hoặc hiệu hai số

chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia

hết cho m.

3. Qui ước: Chia hết: “M”

Không chia hết: “M ”

4. Điều kiện chia hết:

a. Chia hết cho 2 và 5:

* Nhận xét: Số dư của phép chia một số nguyên cho 2 và 5 bằng số dư

của phép chia chữ số cuối cùng bên phải số đó cho 2 và 5.

VÝ dô: abc = 100a + 10b + c = BS5 + BS5 + c

abc = 100a + 10b + c = BS2 + BS2 + c

Nh­ vËy abc vµ c chia cho 2 hoÆc chia co 5 cã cïng sè d￾Người biên soan: Nguyễn Văn Đức – Chuyên viên phòng GD-ĐT Vĩnh Linh 1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh năng khiếu – Bộ môn Số học và hình học lớp 6 – THCS

VËy: Muèn abc chia hÕt cho 2 vµ 5 th× c chia hÕt cho 2 vµ 5

* Ta có điều kiện:

- Một số chia hết cho 2 hoặc 5 khi chữ số tận cùng chia hết cho2 hoặc 5.

- Một số chia hết cho 4 và 25 khi số hợp bởi hai chữ số tận cùng bên

phải của số đó chia hết cho 4 và 25.

- Một số chia hết cho 8 và 125 khi số hợp bởi ba chữ số tận cùng bên

phải của số đó chia hết cho 8 và 125.

- Một số vừa chia hết cho 2 và 5 thì chia hết cho 10.

- Một số vừa chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100

- Một số vừa chia hết cho 8 và 125 thì chia hết cho 1000.

b. Chia hết cho 3 và 9:

*. Nhận xét:

Số dư của phép chia một số nguyên cho 3 và 9 bằng số dư của phép

chia tổng các chữ số của số đó cho 3 và 9.

Thật vậy: 10 = 9 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1

100 = 99 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1

10n

= 99....9 + 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1

Vì vậy một số abcd = 1000a + 100b + 10c + d =

= a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d

= aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d

= Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d).

* Điều kiện:

Một số nguyên chia hết cho 3 và 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết

cho 3 và 9.

* Lưu ý:

- Một số chia hết cho 3 và 9 thì chia hết cho 18

- Một số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6, chia hết cho 2 và 9 thì

chia hết cho 18.

- Một số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 15, chia hết cho 5 và 9 thì

chia hết cho 45.

c. Chia hết cho 11:

Trong một số nguyên N nếu gọi L là tổng các chữ số hàng lẻ (Kể từ

phải sang trái) và C là tổng các chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trái), thì số

dư của phép chia N co 11 bằng số dư của hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11.

Thật vậy: 102

= 99 + 1 = Bs11 + 1

104

= 999 + 1 = Bs11 + 1

102n = Bs11 + 1

Mặt khác: 102n+1 = 102n.10 = Bs11 – 1

Vì vậy nếu ta có số :

5 4 3 2 abcdef = a.10 b.10 c.10 d.10 .10 + f + + + + e

Người biên soan: Nguyễn Văn Đức – Chuyên viên phòng GD-ĐT Vĩnh Linh 2