on thi HSG Tinh

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi häc sinh giái cÊp tØnh

Qu¶ng ninh líp 12 thpt n¨m häc 2008 - 2009

…….*…….

M«n : to¸n

Thêi gian: 180 phót

C©u 1:

T×m c¸c nghiÖm x∈ ( 0; 2π ) cña ph¬ng tr×nh:

x x

x

x x

sin 2 cos 2

1 cos 2

sin 3 sin

= +

−

−

C©u 2 :

Chøng minh r»ng d·y sè sau cã giíi h¹n vµ t×m giíi h¹n ®ã.

Un = (1- )

2

1

2

(1 - )

3

1

2 …(1 - )

1

2

n

C©u 3 :

XÐt ph¬ng tr×nh: P(x) = an xn

+ an-1 xn-1 + + a … 1 x + ao = 0 ( an ≠ 0)

Gi¶ sö P (xo ) > 0 vµ P(i)(xo) > 0 , ∀i = 1, 2, , n. Gäi … x lµ mét nghiÖm tuú ý

cña ph¬ng tr×nh P(x) = 0. Chøng minh r»ng x ≤ xo

¸p dông chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: x5

– 5x4

+ 15x3

– x2

+ 3x – 7 = 0 cã

nghiÖm duy nhÊt.

C©u 4:

Trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R, lÊy mét ®iÓm C tuú ý. ( C kh¸c A vµ

B). KÎ CH⊥ AB, gäi I lµ trung ®iÓm cña CH. Trªn nöa ®êng th¼ng It ⊥ (ABC),

lÊy ®iÓm S sao cho gãc ASB b»ng 90o

.

1. Chøng minh r»ng khi C ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®· cho th×:

a. MÆt ph¼ng (SAB) cè ®Þnh.

b. §iÓm c¸ch ®Òu S, A, B, I ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh

2. Cho AH = x. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABC theo R vµ x. T×m vÞ trÝ cña C ®Ó

thÓ tÝch ®ã lín nhÊt.

…………………HÕt ... ………………

Hä vµ tªn . ,Sè b¸o danh . …………………………………… … ………………………