Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
ÔN T P HÈ MÔN TOÁN H C DÙNG CHO H C SINH KH I 11 LÊN 12Tài li u này g m nhi u ph n ñư c pps
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
1
Tài liệu này gồm nhiều phần ñược sưu tầm trên Internet, với sự chia sẻ của các thầy cô
giáo dạy Toán THPT.
Tuy nhiên do một số Tác giả không ñể lại tên trong Tài liệu của mình nên chúng tôi không thể kể
hết. Xin gửi lời cảm ơn tới các thầy Trần Mạnh Tùng (THPT Lương Thế Vinh), Phan Phú Quốc
(THPT Phan Châu Trinh), và các thầy cô khác ñã chia sẻ những Tài liệu của mình.
*****
Giới Hạn Hàm Số
Bài 1 : ðịnh nghĩa Và Một Số ðịnh Lý
1.Giới hạn tại một ñiểm :
Ví dụ: Cho hàm số f(x) =
3 2
5 4
x
x
−
+
và dãy số (
n
x ) biết
2 1+
n =
n
x
n
a) Tính f(
n
x ) .
b) Tính lim n
x và limf(
n
x )
a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên một khoảng (a;b ) , có thể trừ ñiểm 0
x ∈(a;b)
.Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới
0
x , nếu mọi dãy số (
n
x ) (
0 ∈ ≠ ∀ ∈ ( ; ), ,
n n
x a b x x n N ) sao
cho lim n
x = 0
x thì lim f(
n
x ) = L .
Ta viết :
0
lim ( )
x x
f x L
→
= .
b) Giới hạn vô cực :
ð.n :
0
n n 0
lim ( ) ( hay - ) (x ), limx lim ( ) ( hay - )
n
x x
f x x f x
→
= +∞ ∞ ⇔ ∀ = ⇒ = +∞ ∞
2. Giới hạn tại vô cực :
ð.n:
n n
n n
lim ( ) (x ), limx lim ( )
lim ( ) (x ), limx lim ( )
n
x
n
x
f x L f x L
f x L f x L
→+∞
→−∞
= ⇔ ∀ = +∞ ⇒ =
= ⇔ ∀ = −∞ ⇒ =
3. ðịnh lý về giới hạn :
ðịnh lý 1 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) ñều có giới hạn khi x dần tới a thì :
0 0 0 0 0
0
0
0 0
0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ). lim[ ( ). ( )] lim ( ). lim ( ).
lim ( )
( )
lim (lim ( ) 0).
( ) lim ( )
→ → → → → →
→
→ →
→
± = ± =
= ≠
x x x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
f x g x f x g x f x g x f x g x
f x
f x
g x
g x g x 0
0
0
0
3
3
lim ( ) lim ( ).
lim ( ) lim ( ) ( f(x) 0 )
→ →
→ →
=
= ≥
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x f x
Bài tập
http://urbooks.info chỉ Tập hợp chúng lại ñể bạn ñọc dễ dàng ôn tập.
http://urbooks.info Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí
ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN HỌC
DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12
2
Vấn ñề 1: Tìm Giới Hạn Của Hàm Số Tại ðiểm a
Phương pháp : Sử dụng các giới hạn cơ bản sau :
• C C
x a
=
→
lim . Với C là hằng số .
•
n n
x a
x = a
→
lim
Bài 1 : Tính các giới hạn sau :
a) lim( 3)
2
+
→
x
x
, b) lim( 3 2 5)
4 3
1
+ − +
→
x x x
x
, c)
3 6
3 2
lim 3
2
0 +
+ +
→ x
x x
x
,
5 6
3 2
lim 3
1 +
+
→− x
x
x
.
Bài 2: Tính các giới hạn sau :
3
2 2 2 2
2 2 2
x - x x - 3
8x -3x+7 (x -5x+7)(4x-1) 2x -1 - x
a) lim b) lim c) lim
3x + x + 2 (3x + 2) 27x + x - 3
x
→ ∞ →+∞ → ∞
−
Bài 2 : Giới Hạn Một Bên
1.ðịnh nghĩa :
a) Giới hạn bên phải : cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (
0
x ; b) .
0
n 0 n 0
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L x b x f x L
→ +
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
b) Giới hạn bên trái : cho hàm số f(x) xác ñịnh trên (a;
0
x ) . Ta có :
0
n 0 n 0
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L a x x f x L
→ −
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
2. ðịnh lý : ðiều kiện cần và ñủ ñể hàm số f(x) có giới hạn bằng L là giới hạn bên phải bằng giới hạn
bên trái và bằng L .
Ta có : f x L
x a
=
→
lim ( ) ⇔ =
→ +
lim f (x)
x a
f x L
x a
=
→ −
lim ( ) .
3. Một số kết quả :
2 2 1
0 0 0
1 1 1
lim k
(k Z) , lim k
, lim k
x x x x x x
= − − + → → →
= +∞ ∈ = +∞ = −∞
Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau
2 2
6 3
6 2 3 2 6
5 9 1
+ - + -
x 1 x x x 1
| |
1.lim x - 1 2. lim 3. lim 4. lim
x x x x x
→ → x x x → → x
− − + −
+ − −
Ví dụ 2: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau : f(x)=
>
−
+
− ≤
, 1
7
5
3 1, 1
2
x
x
x
x x
Bài tập
1. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2 2
2
5 1 2 2 1 2 5
4 3 1 6 8 6 5 5
1
5 1 5 6 6 5 - - -
x x x x x
. lim 2. lim 3. lim 4. lim 5. lim
| |
x x x x x x x x
x x x x x x x x → → → → − → −
+ − − − + − + −
− − − + − − +
2. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2
2
5 5 4 5 5
4 3 3 1
1 3 1 3 2
- - - 2 2
x x x
1
.lim b. lim c. lim
| | x x
x x x x
a
→ x → x x
→ x
− + −
−
− − − − +
http://urbooks.info Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí