Nửa nhóm số và đa thức chia đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

LÊ THỊ NGỌC BÍCH

NỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA

ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

LÊ THỊ NGỌC BÍCH

NỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA

ĐƯỜNG TRÒN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN DUY TÂN

Thái Nguyên - 2017

1

Mục lục

Lời nói đầu 2

1 Nửa nhóm số 6

1.1 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Tập Apéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ 16

2.1 Đa thức chia đường tròn và đa thức bù trừ . . . . . . . . . . 16

2.2 Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Đa thức bù trừ nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Một vài ứng dụng 27

3.1 Nửa nhóm số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng 2 là đối xứng . . . . . . . 29

3.3 Phân bố gián đoạn và độ gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Độ gián đoạn cực đại trong đa thức chia đường tròn

nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2 Tổng Sylvester và số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

2

Lời nói đầu

Ta xét tập S = S(3, 7) gồm các tổ hợp tuyến tính nguyên không âm của

3 và 7, tức là

S = {3u + 7v | u, v ∈ Z≥0} = {0, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, . . .}.

Khi đó S là một ví dụ của nửa nhóm số: S tập con của Z≥0 mà đóng với

phép cộng và Z≥0 \ S là tập hữu hạn. Đối với nửa nhóm số S = S(3, 7), ta

liên kết với nó một chuỗi lũy thừa hình thức sau đây, gọi là chuỗi Hilbert

của S:

HS(x) = X

x∈S

x

s = 1 +x

3 +x

6 +x

7 +x

9 +x

10 +x

12 +x

13 +x

14 +· · · ∈ Z[[x]].

Ta nhân chuỗi HS(x) với (1 − x) ta sẽ nhận được một đa thức, gọi là đa

thức nửa nhóm của S:

PS(x) =(1 − x)HS(x)

=(1 − x)(1 + x

3 + x

6 + x

7 + x

9 + x

10)+

(1 − x)(x

12 + x

13 + x

14 + · · ·)

=(1 + x

3 + x

6 + x

7 + x

9 + x

10)

− (x + x

4 + x

7 + x

8 + x

10 + x

11) + x

12

=1 − x + x

3 − x

4 + x

6 − x

8 + x

9 − x

11 + x

12

.

Bằng tính toán trực tiếp ta kiểm tra được đẳng thức đáng ngạc nhiên sau