Những khía cạnh số học của lí thuyết phân bố giá trị.

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, được công bố

trên các tạp chí Toán học uy tín trong và ngoài nước. Các kết quả nêu trong luận án

là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh: Lê Giang

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành với sự giúp đỡ và ủng hộ của nhiều người. Với lòng biết

ơn chân thành nhất, tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất cả những ai đã ủng hộ và

giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.

Trên hết tôi muốn gửi những lời biết ơn chân thành nhất tới hai người Thầy hướng

dẫn của mình là GS. Đỗ Đức Thái và GS. Gerd Dethloff, những người đã hết lòng giúp

đỡ, động viên và chỉ bảo tôi từ những bước đầu tiên cho đến những công việc cuối cùng

của luận án.

Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Trường Đại học

Tổng hợp Brest (Cộng hòa Pháp) vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi mà hai

Trường dành cho tôi. Đặc biệt là Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi mà tôi đã và

đang học tập, công tác.

Tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Cục đào tạo với nước ngoài (Đề án 911) đã

giúp đỡ và ủng hộ tôi hoàn thành luận án.

Tôi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, các đồng nghiệp trong

Khoa và các đồng nghiệp trong seminar nghiên cứu Hình học phức và Hình học đại số

đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm luận án.

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ sự biết ơn tới gia đình tôi, những người luôn bên tôi,

động viên và chia sẻ với tôi những vất vả khó khăn trong quá trình hoàn thành luận

án.

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mở đầu 1

Tổng quan 4

1 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động. 7

1.1 Một số khái niệm cơ bản trong hình học đại số và hình học Diophantine. 12

1.2 Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Một vài bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2 Chứng minh của Định lí 1.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt 35

2.1 Độ cao xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Một vài ước lượng về độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Chứng minh Định lí 2.0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt trên trường hàm 58

3.1 Các khái niệm và các kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iii

iv

3.2 Cách chọn chính tắc các đa thức xác định X từ dạng Chow của đa tạp X. 62

3.3 Một vài kết quả hiệu quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Chứng minh của định lí 3.0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Định lí cơ bản thứ hai 83

4.1 Khái niệm cơ bản và một vài kết quả từ lí thuyết Nevanlinna. . . . . . 85

4.2 Cắt bội cụ thể của định lí cơ bản thứ hai suy biến . . . . . . . . . . . 87

4.2.1 Một vài bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.2 Chứng minh của định lí 4.0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Kết luận và kiến nghị 95

Danh mục các công trình liên quan đến luận án 96

Tài liệu tham khảo 97

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình Diophantine là hệ các phương trình giải trong tập các số nguyên Z,

trong tập các số hữu tỉ Q, hoặc tổng quát hơn là trong các vành hữu hạn sinh trên

Z hoặc trong các trường hữu hạn sinh trên Q. Hình học Diophantine nghiên cứu các

phương trình Diophantine thông qua ngôn ngữ và phương pháp của hình học đại số

trên trường không đóng đại số K. Trong khi đó, lí thuyết Nevanlinna khảo sát tính

chất của đường cong chỉnh hình trên đa tạp đại số trên C. Lí thuyết Nevanlinna và

hình học Diophantine đã phát triển độc lập với nhau qua vài thập kỉ. Tuy nhiên, trong

thời gian gần đây, Osgood (xem [53, 54]), P. Vojta (xem [77, 83]), Serge Lang (xem

[35, 37]) và một số người khác đã phát hiện ra rằng có sự tương đồng đặc biệt giữa hai

đối tượng này. Ví dụ như là một đường cong chỉnh hình khác hằng trong một đa tạp

đại số tương ứng với một tập vô hạn các điểm hữu tỉ. Vojta đã đưa ra một từ điển về

sự tương ứng này. Thông qua từ điển đó, một số định lí trong lí thuyết Nevanlinna có

thể chuyển thành một kết quả đúng trong hình học Diophantine. Sự hiểu biết về mối

liên hệ giữa hai vấn đề này trong vòng 30 năm qua đã dẫn đến những bước phát triển

vượt bậc trong cả hai lĩnh vực. Nhiều giả thuyết đặt ra trong vài chục năm trước đã

được giải quyết. Các kết quả thường được chứng minh trong lí thuyết Nevanlinna sau

đó được chuyển sang dạng tương ứng của chúng trong hình học Diophantine. Mặc dù

việc chuyển sang mệnh đề tương ứng là việc làm hoàn toàn hình thức, chứng minh của

chúng thì không hoàn toàn như vậy. Trong lí thuyết Nevanlinna, chúng ta có khái niệm

đạo hàm của các ánh xạ chỉnh hình. Khái niệm này là công cụ đặc biệt quan trọng

trong chứng minh. Tuy nhiên, cho đến nay người ta vẫn chưa thể nào xây dựng được

khái niệm tương tự trong lí thuyết số. Trong thời gian gần đây, những kết quả của lí

thuyết số áp dụng định lí không gian con Schmidt đã dẫn đến những kết quả tương tự

trong lí thuyết Nevanlinna.

Khi nghiên cứu trên trường hàm đại số, ta cũng thấy hình học Diophantine và lí

thuyết Nevanlinna có liên quan mật thiết với nhau. Ta thấy rằng một trường hàm đại

số có nhiều tính chất số học của trường số. Mặt khác, nhiều kĩ thuật của lí thuyết

Nevanlinna có thể được áp dụng cho trường hàm đại số và kết quả thu được thường ở

2

dạng hiệu quả nghĩa là các hằng số liên quan có thể tính toán được một cách hiệu quả

qua quá trình chứng minh.

Luận án này nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình học

Diophantine đặc biệt tập trung vào định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng

như trên trường hàm và định lí cơ bản thứ hai. Luận án bao gồm 4 chương.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên

trường số, trường hàm đại số và định lí cơ bản thứ hai đối với họ các siêu mặt.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là

mối quan hệ sâu sắc giữa lí thuyết phân bố giá trị và hình học Diophantine đặc biệt

là định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng như trên trường hàm và định

lí cơ bản thứ hai. Trong luận án, các kết quả đạt được là mở rộng của các kết quả đã

đạt được gần đây.

4. Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương

pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Hình học Diophantine, Hình học phức

đồng thời chúng tôi cũng đưa ra những kĩ thuật mới để giải quyết vấn đề.

5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án được chia thành bốn chương.

Chương 1 dành cho việc nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên trường số

đối với mục tiêu di động. Cụ thể là sau khi giới thiệu lại các khái niệm và kết quả cơ

bản của hình học Diophantine, các kết quả đã đạt được từ trước đến nay trong việc

nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi chứng minh định lí không gian con Schmidt cho mục

tiêu là họ các siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh. Kết quả này tổng quát hóa

kết quả của Ru-Vojta (xem [59]).

Chương 2 dành cho việc nghiên cứu dạng định lượng của định lí không gian con

Schmidt. Sau khi nhắc lại những kết quả quan trọng đã thu được từ trước đến nay,

chúng tôi chứng minh dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt cho họ các

3

đa thức với nghiệm trên đa tạp xạ ảnh cho trường hợp tổng quát hơn trường hợp đã

được nghiên cứu bởi Evertse-Ferretti (xem [22]).

Trong chương 3, chúng tôi giới thiệu dạng hiệu quả của định lí không gian con

Schmidt trên trường hàm. Cụ thể chúng tôi mở rộng các kết quả trước đó đến trường

hợp đa tạp xạ ảnh và họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.

Trong chương cuối cùng của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai

của lí thuyết phân bố giá trị. Cụ thể là sau khi nhắc lại những khái niệm cơ bản của lí

thuyết này, chúng tôi cải tiến kết quả đạt được gần đây của Chen- Ru-Yan (xem [12])

bằng việc đưa ra cắt bội cụ thể cho định lí cơ bản thứ hai suy biến của ba tác giả trên.

6. Cấu trúc luận án

Bố cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục gồm bốn chương được viết

theo tư tưởng kế thừa. Bốn chương của luận án được viết dựa trên bốn công trình

trong đó hai công trình đã được đăng, một công trình đã được nhận đăng và một công

trình đã được gửi đi công bố.

Chương I: Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động

Chương II: Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt.

Chương III: Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt.

Chương IV: Định lí cơ bản thứ hai.

7. Nơi thực hiện luận án

Luận án được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà nội và khoa

Toán, trường Đại học Tổng hợp Brest, Cộng hòa Pháp.

4

TỔNG QUAN

Ta biết rằng định lí không gian con Schmidt là một trong những vấn đề trung tâm

của hình học Diophantine. Vào thập kỉ 1970, Wolfgang Schmidt đã đưa ra những dạng

đầu tiên của định lí này. Trong khi định lí của Roth nghiên cứu xấp xỉ của các số đại

số bởi các số hữu tỉ trên đường thẳng thực, định lí không gian con nghiên cứu vấn đề

xấp xỉ đối với họ các siêu phẳng cho trước trong không gian chiều lớn hơn xác định

trên trường số đại số. H.P. Schlickewei (xem [65]) đã cải tiến kết quả của W. Schmidt,

trong đó xấp xỉ được thực hiện đồng thời đối với tất cả các định giá trong một tập

hữu hạn S cho trước trong một trường số cho trước. Sau đó, Vojta (xem [79]) đã cải

tiến kết quả của Schlickewei bằng việc chứng minh sự độc lập của các siêu phẳng loại

trừ từ sự lựa chọn của một số thông số nhất định.

Vào thập kỉ 2000, Corvaja-Zannier (xem [10]) và Evertse-Ferretti (xem [22]) đã khái

quát định lí không gian con tới trường hợp nghiệm được xét trên đa tạp xạ ảnh và

các siêu mặt nằm ở vị trí tổng quát. Gần đây, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và sau đó A.

Levin (xem [42]) tổng quát hóa kết quả của họ tới trường hợp các divisor nằm ở vị trí

dưới tổng quát.

Các định lí không gian con Schmidt đã nhắc đến ở trên có thể xem là các định lí

không gian con Schmidt cho mục tiêu cố định theo nghĩa là các siêu mặt ”mục tiêu”

là cố định khi các điểm xấp xỉ di động qua vô hạn điểm. Một hướng để tổng quát hóa

định lí không gian con Schmidt đó là cho phép các ”mục tiêu” này di động chậm.

R.Nevanlinna đã đặt ra vấn đề định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động, tức là

các hằng số ai được thay thế bởi các hàm phân hình gi với log T(r, gi) = o(log T(r, f)).

Ông đã giải quyết trường hợp cho ba mục tiêu di động bằng cách sử dụng biến đổi

Mobius để đưa về trường hợp hằng số. Trường hợp tổng quát là câu hỏi mở trong một

thời gian dài. Dạng yếu của định lí cơ bản thứ hai không có cắt bội được chứng minh

một cách độc lập bởi C.F.Osgood (xem [53, 54]) và N. Steinmetz (xem [75]) (xem [64]

để biết thêm chi tiết). Đó chính là động lực thúc đẩy Vojta đưa ra định lí Roth cho

mục tiêu di động (xem [80]). Sau đó, M. Ru và Vojta (xem [59]) mở rộng định lí trên

đến định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động. Lập luận của Vojta, lấy cảm

hứng từ bài báo của N. Steinmetz, đã thu được định lí đã đề cập ở trên như là một hệ

5

quả của định lí không gian con Schmidt.

Gần đây, Dethloff và Tan (xem [15]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho ánh

xạ chỉnh hình không suy biến đại số của C vào P

n

(C) và các mục tiêu di động chậm

Qj ⊂ P

n

(C), j = 1, . . . , q, (q ≥ n + 2) ở vị trí tổng quát. Mục đích của chúng tôi trong

phần đầu tiên của luận án là chứng minh dạng số học của định lí trên. Cụ thể là chúng

tôi sẽ chứng minh ”Định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt di động”. Chương

đầu tiên của luận án được viết dựa trên bài báo [28].

Trong chương hai của luận án, chúng tôi nghiên cứu dạng định lượng của định lí

không gian con Schmidt. Đây là một cải tiến rất quan trọng của định lí không gian

con, trong đó ta đưa ra số các siêu phẳng cần thiết để chứa tất cả các nghiệm.

Schmidt (xem [69]) là người đầu tiên nghiên cứu vấn đề này và sau đó J.H-Evertse

(xem [19]), J.H. Evertse và Schlickewei (xem [21]) đã cải tiến kết quả của ông bằng

việc đưa ra chặn tốt hơn cho số siêu phẳng. Những chặn trên này rất lớn và nó chuẩn

tắc đối với trường số K, đây là điều cốt yếu trong nhiều ứng dụng. Những kết quả

này tiếp tục được cải tiến bởi Evertse và Ferretti (xem [23]). Năm 2008, họ (xem [22],

định lí 1.3) tổng quát các kết quả trên tới trường hợp bất đẳng thức với các đa thức

và nghiệm được xét trên một đa tạp con xạ ảnh n chiều của P

N , trong đó N ≥ n ≥ 1.

Trong chương hai của luận án, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của họ tới trường hợp

tổng quát hơn. Chương này được viết dựa trên bài báo [30].

Chương ba của luận án nghiên cứu dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt

trên trường hàm đại số với đặc số 0. Chúng tôi muốn lưu ý rằng, trong trường số cho

tới nay vẫn chưa chứng minh được dạng hiệu quả của định lí này. Tuy nhiên với kĩ

thuật của lí thuyết Nevanlinna, ta có thể đưa ra được dạng hiệu quả của một vài kết

quả quan trọng trong hình học Diophantine trên trường hàm đại số. Kết quả đầu tiên

áp dụng thành công kĩ thuật này là định lí ABC trên trường hàm (xem [43], [78], [6],

[76], [48], và [33]). Sau đó, dạng hiệu quả của định lí Roth, định lí Wirsing và định

lí Nochka-Chen-Ru-Wong [84, 87], tiếp tục dựa trên kĩ thuật đó. Bằng cách dựa trên

phương pháp của Vojta, J.Wang đã chứng minh dạng hiệu quả của định lí không gian

con Schmidt cho các dạng tuyến tính trên trường hàm đại số có đặc số 0 trong [86].

Trong bài báo [1], An và Wang mở rộng kết quả trên của J. Wang cho các dạng không

6

tuyến tính. Dựa trên công việc của Evertse và Ferretti [22], Ru và Wang [63] tổng quát

những kết quả trên tới trường hợp các divisors của đa tạp xạ ảnh của X ⊂ P

M được

sinh ra bởi các siêu mặt trong P

M trên trường hàm có đặc số 0. Phương pháp chứng

minh được dựa trên chứng minh của định lí tương ứng trên trường số. Vấn đề chính là

chúng ta phải làm các quá trình tính toán trở nên cụ thể và hiệu quả.

Như ta đã nói ở trên, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và Levin (xem [42], định lí 5.1) đã

chứng minh định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt ở vị trí m- dưới tổng

quát trên trường số và đồng thời chỉ ra kết quả tương tự cho đường cong chỉnh hình.

Đây chính là động lực cho bài báo của chúng tôi [27]. Chúng tôi tổng quát hóa kết quả

của Ru-Wang tới trường hợp các siêu mặt nằm ở vị trí m-dưới tổng quát. Phần ba của

luận án dùng để trình bày kết quả này (xem [27]).

Trong phần cuối của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai. Định lí

này giữ một vai trò quan trọng trong lí thuyết Nevanlinna. Thông qua từ điển Vojta,

định lí cơ bản thứ hai tương ứng với định lí không gian con Schmidt. Được bắt đầu

bởi R. Nevanlinna, định lí này đã được nghiên cứu rất sâu rộng bởi nhiều nhà nghiên

cứu như H. Cartan (xem [92],...), W. Stoll ([57]), M. Ru ([60, 61, 62]), G. Dethloff - T.

V. Tan-Thai ([14]...),... và nhiều người khác.

Năm 2009, Min Ru (xem [62]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho đường cong

chỉnh hình không suy biến đại số vào trong đa tạp xạ ảnh với họ các siêu mặt ở vị trí

tổng quát. Sau đó, ông và Chen, Yan (xem [11]) cải tiến kết quả trên bằng việc đưa ra

cắt bội cụ thể cho hàm đếm. Năm 2012, ba tác giả trên chứng minh định lí cơ bản thứ

hai cho trường hợp các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (xem [12]). Trong bài báo của

họ, cắt bội không được đưa ra một cách cụ thể. Khi chúng ta muốn áp dụng bất đẳng

thức của dạng định lí cơ bản thứ hai, một vấn đề cốt yếu đó là ta phải có bất đẳng

thức với hàm đếm cắt bội. Đưa ra dạng số học tương ứng của định lí cơ bản thứ hai có

chứa hàm đếm cắt bội có lẽ là một trong những vấn đề mở quan trọng nhất của hình

học Diophantine. Mục đích của chúng tôi là cải tiến kết quả của Chen-Ru-Yan bằng

cách đưa ra ước lượng cụ thể của cắt bội. Chương cuối của luận án được viết dựa trên

bài báo [29].