Nhóm con sylow và tích bện của hai nhóm.

1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

----------------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài:

NHÓM CON SYLOW VÀ TÍCH BỆN

CỦA HAI NHÓM

Sinh viên thực hiện : Phạm Thoại Vy

Thuộc nhóm ngành : Toán học

Lớp : 10ST

Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Đà Nẵng – 2014

2

MỞ ĐẦU

1 – Lý do chọn đề tài

Với hai nhóm G và H cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng một

nhóm thứ ba, chẳng hạn bằng cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm,

tích bện của hai nhóm đó … Mỗi cách như vậy đều có những ứng dụng hữu ích

trong lý thuyết nhóm. Nhằm tìm hiểu tích bện của hai nhóm, tôi chọn đề tài cho

luận văn của mình là : “Nhóm con Sylow và tích bện của hai nhóm”

2 – Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm hai phần

Phần 1 : Cấu trúc nhóm và p – nhóm

Phần này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm và

p – nhóm để làm cơ sở cho phần sau là nội dung chính của luận văn.

Phần 2 : Nhóm con Sylow và tích bện của hai nhóm

Phần này trình bày khái niệm p – nhóm con Sylow và tích bện của hai

nhóm cùng những thí dụ minh họa. Mục cuối của phần này trình bày ứng dụng

của tích bện để xây dựng một p – nhóm con Sylow của nhóm đối xứng hữu hạn.

Xin cảm ơn các thầy, cô giáo thuộc khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm –

Đại Học Đà Nẵng, đã giảng dạy, hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi hoàn thành

được đề tài này.

3

PHẦN 1: CẤU TRÚC NHÓM VÀ p – NHÓM

Phần này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm, kết quả của cấu trúc nhóm và

p – nhóm để làm cơ sở cho phần sau. Các chi tiết liên quan có thể tìm xem trong

tài liệu về lý thuyết nhóm.

1.1. Nhóm và p - nhóm

1.1.1. Định nghĩa. Một nhóm là một cặp ( G; * ) trong đó G là một tập hợp

không rỗng và * là một luật hợp thành trên G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

( G1 ) Luật hợp thành là kết hợp, tức là:

(x * y) * z = x * (y * z),

với mọi x, y, z ∈ G.

( G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, có tính chất

x * e = e * x = x ,

với mọi x ∈ G.

( G3 ) Với mọi x ∈ G, có một phần tử x’ ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x,

sao cho :

x * x’ = x’ * x = e.

Nếu luật hợp thành * đã rõ ràng và không sợ nhầm lẫn gì thì người ta

cũng nói G là một nhóm.

Mệnh đề sau đây là một hệ quả của định nghĩa trên.

1.1.2. Mệnh đề. [ 5 ] Giả sử ( G; * ) là một nhóm. Khi đó,

( i ) Phần tử trung lập của G là duy nhất.